jel mi netko moze objasnit zasto kad se mnoze dva broja sa negativnim predznakom kao rjesenje se dobije pozitivan broj a kad se mnoze pozitivan i negativan broj kao rjesenje se dobije negativan broj!?
Kao i obično, [veky:]mogu pokušati[/]. :-)
[lesson title="...široko mu polje"]
Prvo da raščistimo malu terminološku zapetljanciju koja te možda muči.
"s negativnim predznakom"... predznak broja je jednostavno neki drugi broj, i to: predznak od x je uniformiziran (što ovdje jedino znači da je 0 ako bilo koji broj zadovoljava uvjete) broj sgnx koji pomnožen s |x| daje x.
Na R, sve vrijednosti koje sgn može poprimiti (dokaži:) su 0, 1 i -1 (im(sgn|R)={-1,0,1}): 0 u nuli, 1 na pozitivnim i -1 na negativnim brojevima. Dakle1, jedini "negativan predznak" je -1, i on upravo odgovara negativnim brojevima.
Dakle2, "broj s negativnim predznakom" i "negativan broj" su za nas ekvivalentni pojmovi. Dakle3, ovo prvo je pleonazam.
No dobro, to je bilo prilično nebitno, ali za svaki slučaj. Idemo sad raspiliti ostale definicije. "Negativan" znači "manji od 0". "Pozitivan" znači "veći od 0". Hm. Sveli smo dva pojma na dva druga, "manji od" i "veći od". Možemo mi i bolje. (-:
"x je veći od 0" znači isto što i "0 je manja od x", pa se možemo izvući sa samo jednim pojmom, "manji od", odnosno relacijom "<". Ta relacija na R ima svojstva irefleksivnosti (nijedan broj nije manji od samog sebe) i tranzitivnosti (ako je jedan broj manji od drugog, koji je manji od trećeg, tad je i ovaj prvi manji od tog trećeg). Takva relacija zove se IPU (irefleksivni parcijalni uređaj), a budući da se i svaka dva različita broja mogu usporediti (x=yVx<yVy<x), ovdje imamo posla s običnim (irefleksivnim) uređajem.
Naravno, naziv "uređaj" se ovdje odnosi na svojstvo te relacije da pomoću nje možemo nekako urediti realne brojeve, odnosno znati od dva koji je veći a koji manji.
Toliko o uređaju (zasad). Spominješ još i množenje. Što bi to bilo? Očito, neka operacija: dakle preslikavanje koje djeluje na uređenim parovima realnih brojeva i pridružuje im realne brojeve: *:RxR->R. No malo je čudno pričati o množenju ad hoc, jer postoji jedna jednostavnija operacija na realnim brojevima, s malo pravilnijom strukturom, pa bih prvo nju raspilio: naravno, riječ je o zbrajanju. +:RxR->R
Koja svojstva ono ima? Sigurno znaš za asocijativnost i komutativnost.
No ima i par drugih, koja se uglavnom konceptualno trpaju pod novu operaciju: oduzimanje, odnosno omogućuju nam da po nekoj varijabli (svejedno kojoj) invertiramo to preslikavanje, odnosno rješavamo jednadžbe poput 2+x=5.
Kako to obično rješavamo? "prebacimo" 2 na desnu stranu, čime se on magično pojavi tamo sa suprotnim predznakom. Na to smo već toliko navikli da se ne pitamo puno o tome, no trenutno pogledajmo pažljivije. Ako je na lijevoj strani pisalo 2+x, a sad piše samo x , što smo učinili?
Oduzeli smo 2, odnosno (definicija oduzimanja) pribrojili smo -2. Sad je jasno da smo to učinili i na desnoj strani, i zašto smo dobili -2 tamo. Zapravo smo ga dobili i na lijevoj strani, no tamo je on "poništio" onu dvojku koja je tamo stajala.
Zadubimo se malo u to poništavanje.
Kao prvo, zbog komutativnosti i asocijativnosti možemo zbrajanje 2+x s -2 svesti na zbrajanje -2 i 2:
(2+x)+(-2)=(x+2)+(-2)=x+(2+(-2))
. Kao drugo, zbrajanjem 2 i -2 se dobije 0. To očito možemo napraviti za svaki broj: naći njemu suprotan, koji s njim zbrojen daje 0. To se zove egzistencija inverza (suprotan broj se još zove inverz s obzirom na zbrajanje).
Kao treće, ono što je posebno u nuli je to da ona zbrojena s bilo kojim brojem (ovdje s x) daje njega samog, odnosno ponaša se "neutralno" pri zbrajanju. Zato se i zove neutralni element za zbrajanje.
Dakle, zbrajanje na R ima svojstva: asocijativnost, komutativnost, egzistencija neutralnog elementa, i egzistencija inverza.
Ima li množenje ista ta svojstva? Pa, skoro:-) (još preciznije: ima, ali ne množenje na R). No da bismo vidjeli gdje je problem, pokušajmo dočarati obrise slike koju želimo stvoriti.
Imamo R, i na njemu dvije operacije, + i *, i jednu relaciju, <. Skužili smo da one imaju puno lijepih svojstava sa zanimljivim nazivima, pa se čak i skupine tih svojstava vezane uz jedno preslikavanje nazivaju nekako (npr. ako promatramo samo zbrajanje, ova četiri gore navedena svojstva kažu da imamo nešto što algebraičari zovu "(Abelova) grupa". Dakle, R je uz zbrajanje Abelova grupa, odnosno GrA(R,+). Također, uz <, R je tzv. totalno uređen skup: tos(R,<)). No kad bi samo takva svojstva bila u igri, to zapravo ne bi bila velika koherentna struktura (R,+,*,<), već bi to bile tri male strukture: (R,+), (R,*) i (R,<). Dakle, trebaju nam svojstva koja povezuju gornja tri elementa.
Svojstvo koje povezuje zbrajanje i množenje vjerujem da ti je isto odavno dobro poznato: naravno, distributivnost množenja prema zbrajanju.
Još uskladiti uređaj sa zbrajanjem i množenjem... no to ćemo poslije. Sad ćemo iskoristiti distributivnost da pokažemo jednu zanimljivu činjenicu, a to je da nula pomnožena s bilo kojim brojem daje nulu. Zaista, ako je x bilo koji realan broj,
0=0*x+(-0*x)= (*0=0+0 , jer 0 je neutralni za +*)
=(0+0)*x+(-0*x)= (*distributivnost*)
=(0*x+0*x)+(-0*x)= (*asocijativnost*)
=0*x+(0*x+(-0*x))= (* -0*x je suprotni od 0*x *)
=0*x+0= (* 0 je neutralni *)
=0*x .
Eh... eto. A što to znači? Znači da analognu jednadžbu onoj gore, samo za množenje, a*x=b, ne možemo riješiti (naći x) ako je a=0 (a b nije).
Neutralni element za množenje postoji, i zove se 1, naravno, ali ako 1 != 0 (ovo se moze činiti kao trivijalna napomena, ali ulazi u popis aksioma realnih brojeva:-) - zove se netrivijalnost polja), tad ne postoji inverzni (s obzirom na množenje) element za nulu - broj koji pomnožen s 0 daje 1, iz prostog razloga što svaki broj, kao što gore stoji, pomnožen s nulom mora davati nulu.
Kako se izvući iz ovog, i sačuvati što više od onog "...je grupa"?
Možemo pokušati modificirati svojstva, no puno elegantnije je modificirati skup. *:-) Naime, 0 nam uopće ne treba za multiplikativnu strukturu na R, i ako promotrimo R\.{0}, vidimo da taj skup zaista jest grupa s obzirom na množenje: ima neutral 1, jer 0 != 1, a svaki element u njemu ima inverz (jer 0 ionako nije ničiji inverz s obzirom na množenje, iz istog razloga), x|->1/x.
Još smo ostali dužni uklađenost < s operacijama.
< sa zbrajanjem... to jednostavno znači da je pribrajanje nekog broja rastuća funkcija, odnosno čuva smjer nejednakosti.
S množenjem... to je ono što nisi ni pitao u svom pitanju, jer ti je intuitivno očito, a to je da množenjem pozitivnih brojeva dobiješ pozitivan broj.
Super. Ponovimo sve što dosad imamo:
(R,+,*,<)Ovakva struktura zove se uređeno polje. Dakle, to je struktura oblika (F,+,*,<) koja zadovoljava sve gornje aksiome.
+:RxR->R
*:RxR->R
<:R--R
+ :) GrA(R,+)
a+(b+c)=(a+b)+c
a+b=b+a
E0@RAa@R(0+a=a)
Aa@RE-a@R(a+(-a)=0)
* :) GrA(R\.{0},*)
a*(b*c)=(a*b)*c
a*b=b*a
E1@R\.{0}Aa@R\.{0}(1*a=a)
Aa@R\.{0}Ea-@R\.{0}(a*a-=1)
< :) tos(|R,<)
!(a<a)
a<b & b<c => a<c
a=b V a<b V b<a
+&*:) a*(b+c)=a*b+a*c
+&<:) a<b => a+c<b+c
*&<:) 0<a & 0<b => 0<a*b
Oni su nam dovoljni da damo odgovor na bilo kakvo pitanje koje se tiče uređenih poljâ, pa i ono tvoje gore. No kad sam već tu ne mogu ne napraviti još jedan mali korak i time dati malo materijala za razmišljanje onima što dolje pričaju o multiverzumu i sličnim (gledano iz perspektive matha!) baljezgarijama. :-)
Radi se o sljedećem zanimljivom svojstvu uređaja: ako imaš neprazan skup realnih brojeva, koji ima gornju među (svi brojevi tog skupa su manji od npr. 100), tada on sigurno ima najmanju gornju među - realan broj sa svojstvom da su svi elementi skupa i dalje ispod njega, no nijedan broj ispod njega nema to svojstvo. Da bismo to zapisali simbolički, prvo uvedimo oznaku S<=x, gdje je S neki skup realnih brojeva a x realan broj, za Ay@S(y<=x) (x je gornja međa za S).
Sad to postaje:
S != 0 & Ey@R(S<=y) => Ez@R(S<=z&!Ew@R(S<=w<z)) .
To svojstvo zove se potpunost uređaja, a uređeno polje s takvim uređajem zove se potpuno uređeno polje. No možemo ga slobodno nazvati i skup realnih brojeva:-), i to zbog jednog od najljepših teoremâ analize, koji glasi:
Postoji jedinstveno (do na izomorfizam) potpuno uređeno polje, i to je R.
Dakle, ako dodaš to svojstvo na popis aksiomâ gore, ne samo da ćeš dobiti impresivan popis stvari koje R zadovoljava, već ćeš dobiti svojevrsnu R-ovu "osobnu iskaznicu", popis svojstava koje zadovoljava jedino struktura R i nitko drugi.
Dakle, pomoću njih ćeš moći odgovoriti na bilo koje pitanje na koje uopće možeš očekivati da možeš suvislo math-odgovoriti u vezi realnih brojeva. Sve što znamo o R u standardnom mathu posljedica je tih aksiomâ.
Okej, pa odgovorimo onda na tvoja pitanja, kad smo već dovde došli.
Prvo, ako je a pozitivan, onda je -a negativan. Zaista, 0<a, dodamo -a na obje strane, usklađenost + i <, dobijemo -a<0.
Potpuno analogno, ako je a negativan, -a je pozitivan.
Također, -(-a)=a, jer a+(-a)=0 po komutativnosti zbrajanja znači da je a takav broj koji zbrojen s -a daje 0, odnosno inverz od -a (ovdje nam "inverz" znači "aditivni inverz", odnosno suprotan broj).
Super. Sad idemo množiti pozitivan broj negativnim.
Neka je a neki pozitivan broj, a b neki negativan. Po gornjem, c:=-b je pozitivan, i b=-(-b)=-c.
Dakle a i c su dva pozitivna broja, pa im je umnožak pozitivan: 0<a*c.
No a*b+a*c=a*(b+c)=a*(-c+c)=a*0=0*a=0, odnosno a*b je inverz od a*c.
(a*(-c)=-(a*c), ovo će nam trebati još)
No kako je ovaj pozitivan, a*b mora biti negativan. Etoga.
Sad negativni negativnim. a i b su negativni, dakle a=-c, b=-d, c i d su pozitivni (pa je i c*d pozitivan).
(-c)*(-d)=(*po gornjem*)
=-((-c)*d)=-(d*(-c))=(*opet*)
=-(-(d*c))=d*c=c*d <- pozitivno.
Dakle, overview odgovora:
negativni brojevi su aditivni inverzi pozitivnih.
Svojstvo "biti aditivni inverz" se čuva množenjem, pa a puta aditivni inverz od b je isto što i aditivni inverz od a puta b, odnosno umnožak s negativnim brojem je negativan, ako je umnozak s pozitivnim pozitivan (što jest, ako množimo pozitivne brojeve).
Također, svojstvo "biti aditivni inverz" je involutorno (aditivni inverz aditivnog inverza je sâm početni broj), pa množenjem dva aditivna inverza pozitivnih brojeva (ie, dva negativna broja) dobivamo aditivni inverz aditivnog inverza produkta početnih pozitivnih brojeva, odnosno sam taj produkt, koji smo vidjeli da je pozitivan.
[/lesson]
Jupi. Eto i prvog lessona u 2004oj. Znam da je malo čudan, ali takvi su moji lessoni općenito. :-) Ima pitanja?
Nema komentara:
Objavi komentar