From: Veky <vedgar@gmail.com>
Date: Oct 3, 2006 11:32 PM
Subject: Re: Pitanje
To: Mario
On 10/3/06, Mario wrote:
Zamolio bih vas da mi ipak raspisete 5.zadatak sa
zadnjeg roka
Neka je (A,<) proizvoljni TUS. Označimo sa S skup svih u sebi gustih podskupova od A. Kako je A TUS, u njemu nema neusporedivih elemenata, pa ni u jednom njegovom podskupu nema neusporedivih elemenata: dakle, svaki element G od S je također TUS. Za takve TUSove "gust u sebi" znači da za svaka dva elementa x i y iz G, takve da je x<y, postoji element z iz G takav da je x<z<y.
Prvo, za sve elemente praznog skupa vrijedi bilo što, pa je prazan skup svakako gust u sebi. Kako je prazan skup uvijek također i podskup od A, vrijedi da je prazan skup element od S, pa je S neprazan. S je očito parcijalno uređen relacijom "biti podskup" (ta relacija je uvijek refleksivna, antisimetrična i tranzitivna). Dakle, imamo neprazan, parcijalno uređen skup.
Uzmimo proizvoljni lanac L u S. Primijetimo da, kako su u S svi elementi bili podskupovi od A, tako će i svi elementi od L biti podskupovi od A. Unija tog lanca (svih skupova u tom lancu) UL je očito gornja međa za L (nadskup od svakog elementa od L). Također, svaki element od UL nalazi se u nekom elementu G od L, pa se nalazi i u A (jer je G kao element od L podskup od A). To znači da je UL podskup od A.
Neka su x i y proizvoljni elementi od UL takvi da je x<y. Kako je x u UL, postoji element X lanca L u kojem se nalazi x. Također, y je element nekog (možda drugog) elementa od L, kojeg označimo s Y. Sada, kako je L lanac, a X i Y njegovi elementi, X i Y su usporedivi (s obzirom na relaciju koja uređuje L, dakle "biti podskup"). To znači da je X podskup od Y, ili Y podskup od X.
Ako je X podskup od Y, tada x, kao element od X, mora biti i u Y. Tada imamo x i y elemente od Y, a na početku smo uzeli da je x<y. Kako je Y u lancu L, a L je podskup od S, gdje se nalaze u sebi gusti podskupovi od A, i Y je takav: Y je u sebi gust podskup od A. To znači da su x i y elementi od A, te da postoji element z u Y takav da je x<z<y. z se nalazi u Y, a Y se nalazi u L, dakle z je element od UL.
Ako je pak bio Y podskup od X, također možemo ponoviti prethodni odlomak, samo zamijenimo X i Y. Zaključujemo da se između svaka dva različita elementa iz UL nalazi element iz UL, pa je UL u sebi gust. Gore smo vidjeli da je podskup od A, dakle UL je element od S. Odnosno, UL je gornja međa za L u S, pa kako je L bio proizvoljan, zaključujemo da svaki lanac u S ima gornju među u S.
To, zajedno s ovim što smo vidjeli gore -- S je neprazan parcijalno uređen skup -- znači da su ispunjeni uvjeti Zornove leme za S, pa u S postoji (bar jedan) maksimalni element. Ako pogledamo koji su elementi u S, vidimo da je taj maksimalni element upravo maksimalni podskup od A koji je u sebi gust, čije postojanje smo trebali dokazati. QED
i jos imam pitanje iz ordinalnih brojeva
da mi pojasnite zasto je (w+alfa)*w=w^2
Well... nije za sve alfa. Ali za alfa<omega^2, jest. Naime, tada je alfa oblika omega*i+j, za neke prirodne i i j -- pa je omega+alfa=omega+(omega*i+j)=[asocijativnost zbrajanja](omega+omega*i)+j=[lijeva distributivnost * prema +]omega*(1+i)+j. Taj ordinal je očito veći od omega*(i+1) (i+1=1+i jer su i i 1 prirodni brojevi, a za njih vrijedi komutativnost zbrajanja), a manji je (jer je j<omega) od omega*(1+i)+omega=[lijeva distributivnost]omega*(1+i+1)=[i je prirodni broj]omega*(i+2).
Kako je množenje ordinalâ rastuće, (nestroge) nejednakosti omega*(i+1)<=omega+alfa<=omega*(i+2) se čuvaju množenjem zdesna s omega, pa imamo (omega*(i+1))*omega <= (omega+alfa)*omega <= (omega*(i+2))*omega. Lijeva strana je po asocijativnosti množenja omega*((i+1)*omega). Kako su i i 1 prirodni brojevi, i njihov zbroj i+1 je prirodan, a svaki prirodan broj pomnožen s omega daje omega (napravljeno na vježbama). Dakle, lijeva strana je omega*omega=omega^2. Analogno se dobije i za desnu stranu, zamjenom 1 s 2 svuda.
Zaključujemo da je omega^2<=(omega+alfa)*omega<=omega^2, pa mora biti (omega+alfa)*omega=omega^2.
i sup(w^2*n +w*n + n)= w^3.
(Pretpostavljam da je supremum po n iz omega.) Svaki član niza na lijevoj strani ima n<omega, pa je omega*n+n<=omega*n+omega=omega*(n+1), a kako je i n+1 onda prirodan, to je manje ili jednako omega*omega=omega^2. Jednako tako, onda je omega^2*n+omega*n+n< =omega^2*n+omega^2=omega^2*(n+1), što je manje ili jednako od omega^2*omega=omega^(2+1)=omega^3. Dakle, omega^3 je gornja međa niza koji se pojavljuje na lijevoj strani.
Pokažimo da je to i najmanja gornja međa -- dakle, supremum. Pretpostavimo da postoji neka strogo manja, i označimo je s beta. Po definiciji, omega^3=omega^(2+1)=omega^2*omega= omega^2*sup{n<omega}n=sup{n<omega}omega^2*n. To znači da za svaki ordinal strogo manji od omega^3 (pa tako i za beta) postoji neki član niza omega^2*n koji se nalazi između njih. Dakle, postoji prirodni n takav da je beta<omega^2*n, a to je pak manje ili jednako od omega^2*n+omega*n+n.
Dobili smo da za svaki beta<omega^3 postoji član našeg niza na lijevoj strani koji je strogo veći od beta, pa beta nikad nije gornja međa tog niza. Kako smo vidjeli da omega^3 jest gornja međa tog niza, proizlazi da je to najmanja gornja međa, dakle supremum.
~Veky
