Jasno mi je da mogu interpolirati samu funkciju s točnošću epsilon, ali to ništa ne govori o točnosti pronađene duljine (npr polukrug radijusa jedan, čiji je dijametar zapravo spline duljine dva, dok je duljina luka pi, tj. greška određivanja duljine je pi-2, a interpolacija je točna do jedan).
Ne mogu odoljeti da ne navedem jedan primjer te pojave, koji je mene svojedobno vrlo čudio. Možda nekome od mlađih bude zanimljiv. :-)
Cilj nam je aproksimirati spojnicu točaka (0,0) i (1,1) (označimo je s l) izlomljenim linijama koje se sastoje od dužinâ paralelnih koordinatnim osima (ukratko, dozvoljeno je kretanje samo gore, dolje, lijevo i desno - za proizvoljno male pomake). Naravno, na taj način se lako možemo proizvoljno približiti našoj l - npr. konstruiramo niz izlomljenih linijâ:
l0:=1gore1desno
l1:=(1/2)gore(1/2)desno(1/2)gore(1/2)desno
l2:=((1/4)gore(1/4)desno)x4
ln:=((2-n)gore(2-n)desno)x2n
koji očito "konvergira" k l (maksimalna udaljenost od ln do l je 2-n-1/2). No ono što je zanimljivo, je da duljine od svih ln iznose 2, i nemaju apsolutno ništa s duljinom od l , koja naravno iznosi sqrt2. Još zanimljivije, svaka izlomljena linija gornjeg tipa koja spaja (0,0) i (1,1) imat će duljinu bar 2. Dakle, nema šanse da uđemo već u (1/2)-okolinu od d(l). :-)
(Mislim da primjer, između ostalog, dobro pokazuje kako priče o "beskonačno dugačkim obalama" i "duljinama" fraktalâ nisu tako jednostavne kakvim ih popularna matematika često nastoji prikazati.)
Nema komentara:
Objavi komentar