Pitanje je: Treba ispitat da li je cosinus hiperbolan bijekcija
Nije. ch(-1)=ch1 (općenito, ch je parna funkcija), dakle nije injekcija (realno). Također, ch (realno) je uvijek pozitivan (štoviše, >=1), pa nikad ne poprima vrijednost npr. 0 - nije ni surjekcija.
i ako je napraviti inverznu funkciju?
Traži se valjda restrikcija koja će biti bijekcija na prikladno odabran skup, i onda njena inverzna funkcija.
Cos hiperbolan ima oblik parablole
Misliš na graf, valjda.
Ne, nema oblik parabole, iako je sličan. Možda znaš (razvoj u red) da je
chx=1+x2/2+x4/24+x6/720+.....
Ovaj dio 1+x2/2 bi još mogao predstavljati jednadžbu parabole, no ovaj "ostatak" nakon toga to nikako nije. Doduše, nazivnici u "ostatku" jako brzo rastu, pa za male xeve stvar izgleda slično.
i znam da se onda uzima pozitivni krak u podrucju [0 , ~+>
Točnije, domena se restringira na R+0=[0,+oo> (da bismo imali injektivnost). Kodomena se restringira na [1,+oo> (da bismo imali surjektivnost).
Sada mene zanima da li se ona formula od ch(x) mjenja zbog restrikcije ili ostaje ista?
Sama formula ((ex+e-x)/2) ostaje ista, mijenja se samo područje primjene - u njoj je uvijek x>=0, i znaš da ćeš kao rezultat dobiti nešto >=1 . Te dvije stvari ti omogućuju da nađeš "inverznu funkciju", koja se u ovom kontekstu zove Ar ch .
Znaci uzmem restrikciju na [0,+oo> i radim ineverznu funkciju od y=(e^x+e^-x)/2. Nakon rjesavanja dobijem u^2 - 2yu + 1 = 0 (napravio sam supstituciju u = e^x )
Onda dobijem dva slucaja ali uzmem samo u > 0 zbog restrikcije i dobijem u = y + ( y^2 - 1)^1/2
Ovo je ok, ali argument za to nije dobar.
Naime, i drugo rješenje, y-sqrt(y^2-1), je isto >0 za y>=1 (to se lako vidi: razlika hipotenuze i jedne katete, ako je druga kateta jednaka 1).
Problem je u tome što (ref drugo rješenje) nije veće od 1, a moralo bi biti ako je ex za x>=0. Zato i jesmo restringirali x na R+0.
Još jednom: u>0 uvijek. No restrikcija domene nam kaže da treba biti i u>=1, i onda ovo drugo rješenje otpada.
(Inače, restrikcija kodomene nam kaže da i y>=1, i to moramo imati eda bi onaj korijen gore imao realnog smisla.)
i onda dobije da je e^x = y + ( x^2 - 1)^1/2 i onda
x = ln ( y + ( y^2 - 1)^1/2 )
I na kraju dobijem da je ch^-1(x)= ln ( x + ( x^2 - 1)^1/2 )
Please, ne zovi ga ch-1 . Postoji razlog zbog kojeg se zove posebnim imenom, Ar ch. A naveden je (ref razlog) gore - to nije
prava inverzna funkcija od ch, jer nju ch ni nema - nije bijekcija.
Baš kao što npr. arc sin nije sin-1, jer sin nema inverznu funkciju - nije bijekcija.
uglavnom sam sve shvatio samo imam jos jedno pitanje
U tome zadatku moram uzeti restrikciju domene da je od [1,+oo> da drugo rjesenje ne vrijedi ako, stavi da je od [0,+oo> onda drugo rjesenje ulazi u obzir.
Ne. Restrikcija domene je na [0,+oo>. Ali varijabla iz domene je x, ne u. u je e na x. A ako je x@[0,+oo>, onda je u@[1,+oo>.
Dakle, [1,+oo> nije domena (bar ne za funkciju Ch - jest za funkciju Ch o ln). To je samo "pomoćna domena" za pomoćnu varijablu u.
Ana:
Koja je razlika izmeðu slike funkcije i kodomene?
Hm. Kodomena je nešto eksterno, dio definicije funkcije a priori. Jedna od tri stvari koje su zadane kad se funkcija zadaje kao uređena trojka - domena, kodomena i graf (ponekad "domena, kodomena i pravilo preslikavanja").
Dok je slika funkcije nešto interno, ne zadano, a posteriori, što se zaključuje na osnovu domene i pravila preslikavanja. Uvijek je podskup kodomene (ako je funkcija dobro definirana), a ako su jednake (slika i kodomena funkcije), funkciju zovemo surjekcijom.
Npr. za funkciju f:[2,3]->R+;x|->1/x, R+ je kodomena. To jednostavno piše u definiciji. No slika je nešto što se treba izračunati, i ovdje se lako dobije da je slika od f skup [1/3,1/2]. Dakle, f nije surjekcija.
Da stvari budu malo kompliciranije, u analizi se često realne funkcije realne varijable zadaju samo pravilom preslikavanja f(x)=nešto. Za kodomenu se tada po defaultu uzima R, a za domenu tzv. prirodna domena - skup svih x-eva iz R za koje gornje "nešto" ima realnog smisla. (Takva funkcija se, prirodno, onda smatra surjekcijom ako za svaki realni y postoji x iz prirodne domene koji se preslikava u njega.) Primijetimo da to malo twista gornju karakterizaciju - "domena" je sada nešto a posteriori, što nije eksplicitno zadano, već se računa iz pravila preslikavanja. No to nije domena u punom smislu riječi - zato se zove dodatnim imenom "prirodna" domena, u smislu "defaultna domena" - ako se ne kaže drugačije.
to znači da x^2 nije surjekcija (kodomena je R, a slike [0,+beskon.>)? Mogu li onda odredit inverz te funkcije?
Striktno govoreći, ne te funkcije. I pri tome nije toliki problem surjektivnost ("inverzna" funkcija jednostavno neće biti definirana u točkama koje ova funkcija ne poprima), koliko injektivnost (ako se nekoliko točaka preslikava u isti y, pitanje je koju od njih odabrati za inverznu sliku y-a ). A kvadriranje nije ni injektivno -- (-x)^2=x^2, za svaki x.
No tzv. "vlakna" (skupovi točaka koji se preslikavaju u istu vrijednost) kvadriranja su mala i organizirana - imaju najviše dva elementa, i tada su oni međusobno suprotni. To čini izbor prilično jednostavnim - od dva suprotna broja, točno jedan je pozitivan i točno jedan negativan, pa u tom slučaju možemo uniformno uvijek odabrati onaj pozitivan broj. Za nulu, naravno, odaberimo nulu.
To odgovara "sužavanju" funkcije - kako kodomene da bi se postigla surjektivnost, tako i domene da bi se postigla injektivnost. U ovom konkretnom slučaju, ako suzimo kodomenu na sliku, [0,+oo> , te domenu na skup gore odabranih brojeva - pozitivni i nula, što se ovdje slučajno poklapa s [0,+oo>; tako dobivena funkcija
Sq:R+0->R+0 ;x|->x2 će biti bijekcija, i imat će inverznu funkciju. Ta inverzna funkcija se zove (realni) drugi korijen. Ona neće biti inverzna funkciji od koje smo krenuli na cijelom njenom području djelovanja, ali na restringiranim domenama i kodomenama zadržat će svojstvo inverza (komponirana sa Sq daje identitetu, gdje god je kompozicija definirana).
I općenito, za mnoge nebijekcije možemo jednostavno napraviti sličnu stvar. Npr. realna funkcija cos (kosinus) nije surjekcija (poprima samo vrijednosti između -1 i 1), niti injekcija (periodična je, dakle, beskonačno točaka se preslika u jednu vrijednost). No ako restringiramo kodomenu na [-1,1], a domenu na [0,pi], dobijemo novu funkciju Cos:[0,pi]->[-1,1];x|->cosx, koja je bijekcija. Njen inverz zove se arkus kosinus i označava arc cos.
Nema komentara:
Objavi komentar