Konvergencija rekurzivno zadanih nizova -- metoda za rješavanje mnogih zadataka

atv:

Zamolio bih neku dobru dušu da mi kaže kako se riješavaju ovakvi zadaci i da riješi ovaj zadatak : NIZ (An ) zadan je rekurzivno sa A1 =1 An+1=2/3An + 1/11.
Dokazati da je niz konvergentan i odrediti mu limes.(m.analiza 1, 3.kolokvij, 27.1.2003).

Teži dio je dokazati konvergentnost. Nakon toga, odrediti limes je relativno trivijalno. No da bismo dokazali konvergentnost, dobro je imati kandidata za limes. Zato valjda najintuitivniji put rješavanja ide ovako:

Prvo pretpostavimo da je niz konvergentan. Tad ima limes, kojeg označimo s l:=lim_n a_n.
a_n+1=2/3*a_n+1/11 (za svaki n) možemo shvatiti kao jednakost dva niza: lijevi je početni niz pomaknut za 1 , a desni je linearna (afina) transformacija početnog niza. Ta dva niza su jednaka, pa su im i limesi jednaki. Limes lijevog jednak je l , jer pomak indeksa za 1 ne mijenja limes, a limes desnog je 2/3*l+1/11 (jer je afina transformacija neprekidna). Iz jednadžbe l=2/3*l+1/11 lako dobijemo l=3/11.

E sad... to je jedini kandidat za limes (dokazali smo, ako je niz konvergentan, limes mu je 3/11). Treba još vidjeti da niz zaista konvergira. Kako? Po teoremu: ako je monoton i ograničen, npr.

Početni član a₁=1 je veći od l=3/11, pa niz, ako je već monoton, mora padati (zašto?:). Također, u tom slučaju, da bi konvergirao k l, mora biti ograničen odozdo s l (i ovo probaj egzaktno dokazati...). Dakle, cilj nam je dokazati

• za svaki n, a_n+1<a_n, i
  
• za svaki n, a_n+1>3/11.

Te dvije tvrdnje je puno lakše dokazati ako se skombiniraju u jednu,

• za svaki n, 3/11<a_n+1<a_n,

koja se onda dokazuje indukcijom po n.
Baza je ispunjena: a₂=2/3+1/11, što je očito između 3/11 i 1 (11>3, pa je 1/11<1/3, pa je a₂<2/3+1/3=1 npr.:).

Uzmimo proizvoljan n i pretpostavimo 3/11<a_n+1<a_n.
(Napomena: to ne znači "pretpostavimo da 3/11<a_n+1<a_n vrijedi za proizvoljan n"!)

Množeći to s 2/3 (što je pozitivno, dakle smjer nejednakostî ostaje isti), i dodajući 1/11, dobijemo upravo 3/11<a_n+2<a_n+1, dakle korak je proveden. Po indukciji tvrdnja vrijedi, dakle niz je padajući i ograničen odozdo. Po poznatom teoremu, niz je konvergentan. No gore smo dokazali, ako je konvergentan, limes mu mora biti l .

Zaključak: da, (a_n)_n je konvergentan i limes mu je l=3/11 . QED.