zasto je 1 + 1 = 2?
[lesson title="1+1=2"]
Odgovorit ću ti čim mi odgovoriš što je 1 i što je 2 ... :-)
Seriously, s obzirom na to da math postoji vec jaako dugo, ljudi su kroz povijest prilično različito gledali na te stvari. Kao posljedica toga, danas imamo hrpu matematičkih, mathematičkih i "matematičkih" interpretacijâ osnovnih pojmova kao sto su zbrajanje, prirodni brojevi itd. Naravno da je u takvom mindsetu teško dati definitivan odgovor na gornje pitanje. Evo ti jedan odgovor koji malo kombinira PA, ZF, pa čak i filozofiju tamo gdje mora (gdje bi bez nje bilo preteško na ovoj razini):
Prirodni brojevi (nulu smatram prirodnim brojem) su konačni ordinali. Ordinali su skupovi koji imaju zgodno svojstvo da se mogu uspoređivati ("manji", "veći") pomoću relacije "@" (biti element). Na taj način (znamo otprije da je skup S upravo skup svih x koji su elementi od S), svaki ordinal postaje skup svih ordinalâ koji su manji od njega.
Prvi ordinal, nula, tad ne može biti ništa drugo nego prazan skup (jer još nema nijednog ordinala koji bi bio manji od njega). Sljedeći ordinal, jedan, bit će skup svih dosad napravljenih ordinalâ, a jedini takav dosad je 0, dakle 1:={0}. Onaj nakon njega, dva, bit će skup tih dosad definiranih ordinalâ, dakle 2:={0,1}.
I tako dalje... vjerujem da je sad jasno da je 3:={0,1,2}, 4:={0,1,2,3}, and so on. Naravno, za taj pristup trebamo izmisliti beskonačno mnogo imenâ za brojeve, a to je teško. Puno je bolje shvatiti da je sve što radimo samo primjenjivanje jednog te istog postupka over&over again, na početni ordinal 0.
Koji je to postupak? Onaj kojim od 0 dobivamo 1, isti kao onaj kojim od 1 dobivamo 2, od 2 dobivamo 3 itd. ... da vidimo:
1={0} & 2={0,1}. Što smo napravili? Dodali smo u skup element 1. 2=1U{1}. Isto tako, 3=2U{2}. Vrijedi i dolje: 1=0U{0} (sjetimo se, 0 je prazan skup). Sad je već jasno da sljedeći ordinal nakon x dobivamo kao xU{x}. Taj ordinal zove se sljedbenik od x i označava s x+. Dakle, x+:=xU{x}.
So, ono što smo gore rekli se svodi na to da prirodne brojeve dobivamo naštukavanjem operacije + na broj 0: zaista, 1=0+, 2=0++, 3=0+++ (provjerite:), itd. No početak ne mora biti 0, možemo ga jednako tako prebaciti u bilo koji ordinal k. To prebacivanje zove se pribrajanje broja k (i označava s +k, a vrijednost tog preslikavanja u ordinalu l označava se, uobičajeno, u postfiksu s k+l). Dakle, ono umjesto od 0 kreće od k, a dalje nastavlja potpuno jednako kao i standardna izgradnja prirodnih brojeva, pomoću naštukavanja operacije +:
0+k=k (početak nije 0 već k) (pravilo 0+)
x++k=(x+k)+
(ali sljedbenik ostaje sljedbenik) (pravilo ++)
Sad je iz ovog jasno:
1+1= (*1={0}*)
={0}+1= (*X=0UX*)
=(0U{0})+1= (*X+=XU{X}*)
=0++1= (*++*)
=(0+1)+= (*0+*)
=1+= (*X+=XU{X}*)
=1U{1}= (*1={0}*)
={0}U{1}= (*{x}U{y}={x,y}*)
={0,1}= (*2={0,1}*)
=2 QED.
Za domaću zadaću: 2+2=?. Sve potrebno imate. :-)
[/lesson]
[lesson title="Što je zapravo potenciranje? - ZF view"]
Dakle ovako... uobičajenu "definiciju" kardinalnih brojeva vjerujem da znaš (ono, bijekcije, "imati jednako mnogo elemenata", različite beskonačnosti, alef-nula, kontinuum i tome slično)
E sad, time smo uspjeli brojeve (as in kardinalne brojeve) povezati sa skupovima. Sad je fora povezati operacije s tim brojevima s operacijama sa skupovima... i to je uglavnom jednostavno. Npr. umnožak dva kardinalna broja je kardinalni broj Kartezijevog produkta odgovarajućih skupova.
Zbroj dva kardinalna broja je kardinalni broj njihove tzv. disjunktne unije ([VTN:]xunije[/], po uzoru na "xor":), koja se definira kao AUB :=(Ax{0})U(Bx{1}). Ovdje je kao sto vidiš mala komplikacija zbog toga što A i B ne moraju biti disjunktni in the first place, ali lako se učine disjunktnima - Ax{0} i Bx{1} su uvijek disjunktni, a istog su kardinaliteta kao A i B redom.
(Zašto su Ax{0} i Bx{1} disjunktni? XxY je po definiciji skup svih uređenih parova (x,y), gdje je x@X & y@Y. Specijalno, Ax{0} je skup svih uređenih parova (a,0), gdje je a@A. Analogno, Bx{1} je skup svih (b,1), za b@B. Da nisu disjunktni, neki element jednog bio bi jednak nekom elementu drugog, Ea@AEb@B((a,0)=(b,1)). No jednakost uređenih parova tad bi dala a=b (irelevantno) i 0=1 ("nemoguće"), što je kontradikcija.)
No što je s potenciranjem? Da bismo odgovorili na to pitanje, prvo promotrimo specijalne slučajeve potenciranja kao iteriranog množenja. Naj"jednostavni"ji je valjda A2:=AxA - Kartezijev produkt skupa sa samim sobom. Naravno, njegovi "ad hoc" elementi su uređeni parovi, no lako se vidi da je takav pristup očajno biased prema broju 2, i da se ne može lako generalizirati na ostale brojeve.
Što želim reći? Ako mi treba A3, "očito" ću ga definirati kao A2xA.
Hm... a možda i kao AxA2... (to nije isto. ((x,y),z)!=(x,(y,z)) npr. za x:=(0,1) & y:=0 & z:=0 :)
Hmm... dakle, možda i nije tako "očito". [:-|]
Naravno, ono što bismo htjeli, je da u A3 ne žive nikakve hibridne tvorevine, kvaziparovi kojima je jedan element par, već ono što znamo pod imenom "uređene trojke". That's nice, ali što je uređena trojka (ako nije par kojem je jedan element par)? Već smo imali dovoljno neprilikâ s uvođenjem uređenog para kao "nedefiniranog" pojma u naivnoj teoriji skupova (inFact, on se može
definirati, ali ovdje to nije toliko bitno)... želimo li reći da nam treba još jedan, bez ikakve veze s ovim prvim?
I ofCourse, ne samo jedan - što je s uređenim četvorkama, petorkama, i sličnim čudovištima? A o N-torkama, R-torkama da i ne govorim...:-o
"Očito":-), svi su oni ipak specijalni slučajevi jednog šireg pojma... samo kojeg? Odgovor na to ćemo dobiti ako pogledamo što zahtijevamo npr. za uređene petorke. Sjetimo se da smo za uređen par rekli nešto tipa "to je objekt (x,y), koji ima svojstvo da su dva takva jednaki, (x,y)=(z,w), akko x=z&y=w". Pogledajmo za 5orku... htjeli bismo nešto tipa "uređena petorka je objekt (x1,x2,x3,x4,x5) , koji ima svojstvo da su dva takva jednaka, (xi)i:1~5=(yi)i:1~5, akko Ai:1~5(xi=yi)".
Eh... sad to već liči na nešto. Preciznije, ovaj uvjet jako liči na definiciju jednakosti funkcijâ...
i zaista, ako umjesto xi pišemo f(i-1) (zašto -1? Pa sad... recimo zasad samo da je brojanje od 1 jako neprirodno ustvari, i da je puno bolje početi brojati od 0... sto uostalom C-programeri znaju jako dobro;), a umjesto yi pišemo g(i-1), vidimo da možemo 5orke smatrati funkcijama... ovu prvu funkcijom f, a ovu drugu funkcijom g. Na kojoj domeni? Očito, {0,1,2,3,4}. Taj skup ima i lijepo ime - ako si pratio prethodne lessone (recimo onaj "1+1=2"), znaš da se on zapravo zove imenom 5.
Dakle, 5orke su funkcije s domenom 5. Lijepo zvuči, zar ne? (Uostalom, kao i sva prava mathematika.:) Naravno, sad je jasno i što su 124orke , i N-torke (poznatije pod imenom "nizovi":), i R-torke (poznatije pod imenom "funkcije realne varijable"), i puno zahtjevniji objekti tog tipa.
No naše su 5orke ipak malo specijalnije, ako pogledamo A5. Naravno, to je sad skup svih uređenih 5orkî s komponentama iz A. U gornjem viewu, n-torke postaju funkcije, komponente očito postaju funkcijske vrijednosti, a A onda postaje skup iz kojeg se vade funkcijske vrijednosti, koji je još poznat pod imenom kodomena funkcije. Dakle, svaki objekt u A5 je funkcija f:5->A. Štoviše, A5 je upravo skup svih funkcijâ s 5 u A, a njegov kardinalni broj itekako ima smisla zvati petom potencijom kardinalnog broja od A.
Sad je jasno da je u cijelog gornjoj priči 5 bio samo placeholder, kojeg je prilično jednostavno apstrahirati. Dakle, AB je skup svih funkcijâ s B u A, a njegov kardinalni broj može dobro poslužiti da se definira potenciranje kardinalnih brojeva.
Jupi... dakle, (bar za konačne brojeve m i n, lako je to i kombinatorički provjeriti), mn jednak je broju funkcijâ sa nekog n-članog skupa u neki m-člani skup.
[/lesson]
Sad, koristeći ovo, za domaću zadaću dokaži (ili opovrgni:) :
32=9
a1=a za svaki a
1a=1 za svaki a
00=1
a0=1 za svaki a
0a=0 za svaki a>0
2card(A)=card \P(A)
\P(A) je partitivni skup, ie skup svih podskupova od A
2alef0=continuum
realnih brojeva ima koliko i skupova prirodnih
continuumalef0=continuum
realnih nizova ima koliko i realnih brojeva
Naravno, za neke od njih trebat će ti prilično precizna definicija pojma "funkcija", no o tome jednom drugom prilikom...
