Neki jednostavni zadaci s kardinalnim brojevima

On 12/1/05, j.antolic wrote:

BOK! IMAM PAR PITANJA IZ TEORIJE SKUPOVA:

Hm. Prvo, CAPS LOCK nije pristojan u modernoj email komunikaciji. Smatra se vikanjem.

All caps in Email is widely understood to be shouting or yelling at someone.

1. KAK DA DOKAŽEM 2 na C=(n!)na c, n>2

Prvo pogledajte (2^𝔠)^𝔠=2^(𝔠·𝔠)=2^𝔠. I onda, za svaki broj a između 2 i 2^𝔠 (dakle specijalno n! za n prirodan i veći od 2),
2≤a≤2^𝔠 dignete na 𝔠, i dobijete (monotonost potenciranja)
2^𝔠≤a^𝔠≤2^𝔠. Dakle a^𝔠=2^𝔠.

(treći zadatak na strani 23 u online vježbama ilustrira nešto slično).

2. KOLIKO IMA REALNIH NIZOVA ČIJI JE LIMES JEDNAK a, a
CIJELI BROJ

Općenito, svih realnih nizova ima 𝔠^ℵ₀=𝔠. Dakle, ako skup čiji kardinalitet tražite označite s A, imate card(A)≤𝔠.

S druge strane, nije problem konstruirati za svaki realan broj x, po jedan niz iz A: (x,a,a,a,a,....). Dakle card(ℝ)≤card(A), odnosno card(A)=𝔠.

3. KOLIKO IMA MOGUČIH RJEŠENJA KVADRATNE JEDNADŽBE

Mislite valjda skupove rješenja? U ℝ, moguća su tri slučaja.

1. diskriminanta manja od nule. tada nema rješenja, odnosno skup rješenja je prazan. - jedna mogućnost.
2. diskriminanta jednaka nuli. tada je rješenje jedinstveno, odnosno skup rješenja je singleton {x}, za proizvoljan realan x - 𝔠 mogućnosti.
3. diskriminanta veća od nule. tada ima dva rješenja, odnosno skup rješenja {x1,x2} je proizvoljan dvočlani podskup od ℝ. Lako se vidi da i tada ima 𝔠 mogućnosti.
   

Sveukupno (gornji slučajevi su disjunktni) 1+𝔠+𝔠=𝔠 mogućnosti.

U ℂ (kompleksnim brojevima), vjerujem da sada možete sami riješiti. Ako bude problema, pitajte.