Koliko ima podskupova od |R koji sadrže |N?

---------- Forwarded message ----------
From: Veky <vedgar@gmail.com>
Date: Dec 12, 2005 7:21 PM
Subject: Re: Zadatak sa roka
To: Ana

On 12/12/05, Ana wrote:

Hej,
u jednom Frankim roku(gle cuda) treba naci broj poskupova od R koji
sadrze N?
Ja sam ovako razmisljala:
1.element biramo na 2^c nacina
2.element biramo na 2^c-1nacina itd......
Krajnje dobivamo umnozak neki=2^(alef0 * c)=2^c
Je to O.K. ili naravno nije?
A

Naravno. :-p
Mislim, odgovor je točan, ali 2^c-1 i slični brojevi ne postoje u standardnoj teoriji skupova. Ako se sjećate, za kardinalne brojeve smo definirali zbrajanje, množenje i potenciranje, ali oduzimanje (s razlogom) nismo. Koliko je na primjer alef0-alef0? Ako iz |N (njih alef0) izbacimo sve brojeve veće od 5 (njih alef0), dobit ćemo 5. Ako izbacimo sve brojeve veće od 123 (njih alef0), dobit ćemo 123. Ako izbacimo sve parne brojeve (njih alef0), dobit ćemo sve neparne -- njih alef0. Vidite?

Koliko nečega ima, određuje se nalaženjem bijekcije -- ili, pomoću CB teorema, dvije injekcije. U ovom slučaju:

Označimo dani skup (svih podskupova od |R koji sadrže |N) sa S. Očito je S podskup partitivnog skupa od |R, pa je
cardS<=card\P(|R)=2^c.

S druge strane, proizvoljnom podskupu A od |R^- (negativni brojevi) možemo pridružiti podskup AU|N od |R, koji sadrži |N. Dakle, imam preslikavanje sa partitivnog skupa od |R^-, u S. To preslikavanje je injekcija (ako je A1 različito od A2, tada je A1U|N različito od A2U|N -- dokažite!), pa mi je
card\P(|R^-)<=cardS.

No card\P(|R^-)=2^card|R^-, a card|R^-=card|R=c, dakle cardS>=2^c. To zajedno s gornjim daje cardS=2^c.
--
~Veky