Sume do ω∙3, i računanje kofinalnosti ordinalâ

On 11/24/05, Ksenija wrote:

1. Kad kod ordinalnih brojeva imamo sumu po i iz omega*3 koje
slucajeve treba razmotriti - kod sume po omega*2 smo gledali supremum po alfa i imali slucajeve n i omega+n;

Mala ispravka: to baš i nisu "slučajevi": između njih nije "ili", nego "plus". Odnosno, oba ulaze u rezultat istovremeno, i zbrajaju se. (To što će ovaj prvi obično biti manji od ovog drugog, pa će se apsorbirati tipa 1+ω=ω, je druga stvar.)

da li za omega*3 promatramo iste te slucajeve i slucaj omega+omega+n ili nesto sasvim drugo?

Upravo tako. ω∙2={0,1,2,....,ω,ω+1,ω+2,....}. Dakle u ω*2 se nalaze dvije kopije od ω: jedna "normalna" ({0,1,2,....}), i jedna translatirana za ω ({ω+0,ω+1,ω+2,....}). Ako sad sumu rastavimo na dvije sume, i u ovoj drugoj pomaknemo indeks (stari_i=novi_i+ω), te iskoristimo definiciju po kojoj je suma do ω upravo supremum po n svih parcijalnih sumâ do n, dobijemo točno ovo što ste napisali.
Jednako tako i za
ω∙3={0,1,2,....,ω,ω+1,ω+2,....,ω∙2,ω∙2+1,ω∙2+2,....}.

Zapišimo to i simbolički:
∑{i∈ω∙3}f(i)=

∑{i∈{0,1,2,....}}f(i)+
+∑{i∈{ω,ω+1,ω+2,....}}f(i)+
+∑{i∈{ω∙2,ω∙2+1,ω∙2+2,....}}f(i)=
=∑{i∈ω}f(i)+
+∑{i∈ω}f(ω+i)+
+∑{i∈ω}f(ω∙2+i)=
=sup{n∈ω}∑{i∈n}f(i)+
+sup{n∈ω}∑{i∈n}f(ω+i)+
+sup{n∈ω}∑{i∈n}f(ω∙2+i) .

2. kofinalnost ordinalnog broja - iz definicije mi nije jasno kako
izracunati cf od nekog konkretnog ordinalnog broja, npr. cf(10) ili
cf(omega)

Da, definicija je malo čudna. ☺
Intuitivno, kofinalnost od α je jednostavno odgovor na pitanje "koliko nam ordinalâ treba da dostignemo α odozdo", odnosno preciznije, koliki je najmanji ordinalni broj skupa čiji je supremum jednak supremumu od α.

("odozdo" znači da te ordinale smijemo uzimati samo strogo manje od α, a ne od α nadalje — inače bismo naravno uvijek mogli dostići α samo pomoću jednog ordinala, α. Formalno, to znači da kodomena funkcije koju moramo naći mora biti α.
Također, treba biti svjestan da se traži najmanji takav broj: naravno, α uvijek možemo dostići odozdo sa svih α ordinalâ koji su od njega manji. Dakle, cf(α)≤α. No može biti puno manji, naravno.)

Da vidimo...

• cf(10). Gledamo 10={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, i pitamo se s koliko ordinalâ to možemo dostići odozdo. Očito je dovoljan jedan, i to ordinal 9. Dakle, cf(10)=1. Formalno, ona funkcija u definiciji je f:1→10, definirana s f(0):=9.
• cf(ω). Gledamo ω={0,1,2,3,4,....}, i pitamo se s koliko ordinalâ to možemo dostići odozdo. Probajmo ih uzeti nekoliko... na primjer, 4,5,12. Očito, time smo dostigli samo do uključivo 12 (dakle ordinal 13), i jasno je da će nam se to uvijek dogoditi kad uzmemo konačno mnogo ordinalâ: od svih njih postoji najveći, i bilo što nakon njegovog sljedbenika nam je izvan dosega. Dakle, moramo ih uzeti beskonačno, a najmanji beskonačni ordinalni broj je ω: slijedi da ih moramo uzeti bar ω. Toliko ih je i dovoljno, jer ih očito možemo uzeti sve: f:ω→ω;f(i):=i. (Naravno, i da smo uzeli od nekog nadalje — na primjer, 6,7,8,9,.... — također bismo dostigli ω; no time nismo uzeli ništa manje: skup {6,7,8,9,....} je jednako tako tipa ω kao i sâm {0,1,2,3,....}.

Za domaću zadaću izračunajte cf(0), cf(28), cf(ω∙5), cf(ω²).

Rješenja:
cf(0)=0 (Prazna funkcija :0→0.)
cf(28)=1 (f:1→28;f(0)=27)
cf(ω∙5)=ω (f:ω→ω∙5;f(n)=ω∙4+n)
cf(ω²)=ω (f:ω→ω²;f(n)=ω∙n)
HTH,

--
~Veky