2005-12-12

Koliko ima mogućih rješenjâ kvadratne nejednadžbe?

---------- Forwarded message ----------
From: Veky <vedgar@gmail.com>
Date: Dec 12, 2005 7:13 PM
Subject: Re: Zadatak za domacu zadacu
To: pipi_in_melkijad

On 12/12/05, pipi_in_melkijad wrote:
Mozete li nam pomoci sa sljedecim zadatkom:
Koliko ima skupova rjesenja kvadratne jednazbe

Valjda nejednadžbe. :-) 

a*x^2+b*x+c>0, za a, b, c iz  |R?
Hvala!

Sjećate se zadatka "koliko ima intervala (svih vrsta) u |R"? Ovo ide slično.
Mogući skupovi rješenja su:
  1. <-oo,x1>U<x2,+oo> (ako je diskriminanta pozitivna, te a pozitivan). Tome pridružimo (1,x1,x2).
  2. |R\{x0} (ako je diskriminanta jednaka 0, te a pozitivan). Tome pridružimo (2,x0,0).
  3. |R (ako je D<0 i a>0). Tome pridružimo (3,0,0).
  4. <x1,x2> (ako je D>0 & a<0). Tome pridružimo (4,x1,x2).
  5. 0 (prazan skup) (ako je D<=0, i a<0). Tome pridružimo (5,0,0).
Vidimo da imamo funkciju sa traženog skupa (S) u skup |R^3. To je injekcija (dokažite!), pa je
cardS<=card|R^3=c^3=c^2*c=c*c=c^2=c (kontinuum).

S druge strane, za svaki r iz |R, promotrimo kvadratnu nejednadžbu x^2-2rx+r^2>0. Njen skup rješenja je očito |R\{r}. Dakle, različitim r-ovima odgovaraju različiti skupovi rješenja, odnosno imam injekciju s |R u S. Dakle
card|R=c<=cardS,

što zajedno s gornjim daje cardS=c.
HTH,
--
~Veky

1 komentar: