Aksiomi TSa

---------- Forwarded message ----------
From: Veky <vedgar@gmail.com>
Date: Dec 11, 2005 3:55 PM
Subject: Re: Aksiomi TS-a
To: Ana

On 12/11/05, Ana wrote:

Hej,
na predavanjima je Guljas spomenuo aksiom poptunosti,ali nigdje nismo
rekli sto je to,a nema niti u Papicevoj knjizi.....
Na vjezbama u petak si spomenuo aksiom temeljnosti.....Ni to nerme naci
nigdje...
Mozes mi reci sto kazu ta 2 aksioma?
Na predavanjima smo radili samo aksiom ekstenzionalnosti,praznog
skupa,partitivnog skupa,para,unije,separacije i izbora.....

Hm... ajmo redom.
Aksiom potpunosti nije aksiom teorije skupova, već analize. Aksiomi teorije skupova opisuju strukturu kumulativne hijerarhije, koja u sebi uključuje sve skupove koji nam trebaju. Aksiomi analize (i drugih matematičkih granâ) opisuju strukturu izgrađenu na jednom konkretnom skupu (za analizu, skupu realnih brojeva ℝ).
Za Teoriju skupova, aksiom potpunosti ("svaki neprazan skup koji ima gornju među, ima supremum") ima značenje, ali ne kao njen aksiom, već kao tvrdnja koju neki TUSovi zadovoljavaju, a neki ne — i predstavlja invarijantu sličnosti, dakle učinkovit način da razlikujemo uređajne tipove (na primjer, za λ vrijedi aksiom potpunosti, dok za λ+λ ne vrijedi — dakle, λ+λ≠λ, odnosno ℝ×2≄ℝ).

Aksiom utemeljenosti (fundiranosti) je pak aksiom koji se odnosi na samu kumulativnu hijerarhiju, i kaže da su, efektivno, razine kumulativne hijerarhije dobro uređene, odnosno: svaki neprazni skup ima element na minimalnoj razini.
∀a(∃b(b∈a)→∃b(b∈a∧∄c(c∈b∧c∈a))
(ovaj b je "na minimalnoj razini", jer ne postoji c koji je "ispod" njega)
Odnosno, koristeći pokrate,
a≠∅→(∃b∈a)(a∩b=∅)

Nama je na vježbama trebala samo jedna jednostavna posljedica aksioma fundiranosti, a to je da nijedan skup ne može biti element samog sebe — specijalno, ω∉ω. Dokaz je jednostavan: promotrimo skup a:={ω}. On je neprazan (ω∈a), pa ima element na minimalnoj razini. No to može biti jedino ω (jer je to jedini element od a). Kad bi bilo ω∈ω, imali bismo ω∈ω i ω∈a, dakle postojao bi element od a koji je "ispod" ω (to je upravo ω), što je kontradikcija.

Od aksiomâ standardnog ZFCa u gornjem popisu još nedostaje aksiom zamjene, koji kaže da je funkcijska slika skupa ponovo skup, no tim aksiomom ćete se vjerojatno baviti kasnije.
Pregled aksiomâ možeš naći na http://en.wikipedia.org/wiki/Zermelo-Fraenkel_set_theory .
HTH,
--
~Veky