Rješenja kolokvija iz Uvoda u matematiku 2006-02-06

2. Dokazujemo matematičkom indukcijom.
   

   Baza

   1³=1>(1-1)⋅(2⋅1-1)=0⋅1=0
   

   Pretpostavka

   Pretpostavimo da je za neki k∈ℕ, k³>(k-1)⋅(2k-1)=2k²-3k+1.
   

   Korak

   Trebamo dokazati da je (k+1)³>(k+1-1)(2(k+1)-1)=k(2k-1)=2k²-k.
   
   Koristeći pretpostavku, možemo dobiti (k+1)³=k³+3k²+3k+1>2k²-3k+1+3k²+3k+1=5k²+2.
   
   Dakle, sve što još trebamo dokazati je 5k²+2>2k²-k za sve prirodne k. No to je ekvivalentno s 3k²-k+2>0, što vrijedi čak za sve realne k (jer je diskriminanta=-23 negativna, a vodeći_član=3 pozitivan).

   
   
   
3. Tri uvjeta zadana u zadatku nam znače p(1)=2, p(-1)=0, te p(0)=2. Ako p(x) podijelimo s x³-x (stupnja 3), dobit ćemo ostatak stupnja strogo manjeg od 3 (ili nulpolinom), dakle nešto oblika r(x)=ax²+bx+c. Sve u svemu, imamo p(x)=(x³-x)q(x)+ax²+bx+c. Uvrštavajući u to za x brojeve -1, 0 i 1, dobijemo 0=a-b+c, 2=c, te 2=a+b+c, iz čega se lako dobije b=-1 i a=1. Dakle ostatak je r(x)=x²-x+2.
   
   
4. Budući da je zadani polinom jednak f(x)=2x³+7x²+4x-4, cjelobrojna nultočka mora biti djelitelj slobodnog člana 4, dakle iz skupa {1,-1,2,-2,4,-4}. Uvrštavanjem (npr. pomoću Hornerove sheme) se dobije da je -2 nultočka. Uvrštavajući -2 redom u derivacije od f(x) (ili u kvocijente koji se dobiju iz Hornerove sheme), dobije se da je f'(-2)=0, te f''(-2)=-10≠0. Dakle, kratnost nultočke -2 jednaka je 2.
   
   
5. Prebacivši 1 na lijevu stranu nejednadžbe, faktoriziranjem nazivnika i svođenjem na zajednički nazivnik, dobije se ekvivalentna nejednadžba 2(5x+4)/(x-2)(x-1)≥0. To se može riješiti pomoću tablice, gledanjem predznaka pojedinih faktorâ na intervalima određenim točkama -4/5, 1 i 2. Nakon toga još treba izbaciti 1 i 2 kao nultočke nazivnika. Konačno rješenje je x∈〈-∞,-4/5]∪〈1,2〉.
   

2. Dokazujemo matematičkom indukcijom po n. Primijetimo da na lijevoj strani eksponenti broja 3 idu od 0 do 6n-2 s korakom 2, dakle suma na lijevoj strani ima 3n članova.
   

   Baza

   Za n=1, imamo tri člana na lijevoj strani: 1+3²+3⁴=1+9+81=91=13⋅7, što je djeljivo s 13. (Zadnji član u sumi je 3^6⋅1-2=3⁴.)
   

   Pretpostavka

   Pretpostavimo da je za neki prirodni k, 1+3²+3⁴+...+3^6k-2 djeljivo s 13, odnosno jednako 13q za neki cjelobrojni q. Suma na lijevoj strani ima 3k članova.
   

   Korak

   Za n=k+1, na lijevoj strani imamo 3n=3(k+1)=3k+3 člana: to su 3k iz pretpostavke indukcije, i još 3 sljedeća (nakon 3^6k-2 s korakom 2 u eksponentu): 3^6k, 3^6k+2 i 3^6k+4. Primijetimo da je posljednji jednak 3^6(k+1)-2, kao što i treba biti. Naša suma je sada jednaka (1+3²+3⁴+...+3^6k-2)+(3^6k+3^6k+2+3^6k+4) =
   13q+3^6k(1+3²+3⁴) = 13q+91⋅3^6k = 13(q+7⋅3^6k), što je djeljivo s 13.

   
   
   
3. Prvo provjerimo je li nulpolinom rješenje. Za p(x)=0, dobivamo istinitu jednakost 0=0, dakle nulpolinom je jedno rješenje. Ako pak p nije nulpolinom, tada ima stupanj: označimo n:=st(p). Stupanj kompozicije je produkt stupnjeva, a stupanj produkta je zbroj stupnjeva faktorâ, dakle stupanj lijeve strane je 2n, a desne 2+n (primijetimo da sada nijedna od njih nije nulpolinom). Ako su one jednake, moraju imati i jednake stupnjeve, odnosno 2n=2+n, iz čega dobijemo n=2. Dakle p(x) koji nije nulpolinom mora biti stupnja 2, odnosno imati oblik ax²+bx+c (gdje a kao vodeći koeficijent nije 0). Uvrstivši to u zadanu jednadžbu, dobijemo a(1+x²)²+b(1+x²)+c=(1+x+x²)(ax²+bx+c). Kad to raspišemo po potencijama od x, dobijemo:
   
   
   • uz x⁴: a=a
     
   • uz x³: 0=a+b
     
   • uz x²: 2a+b=a+b+c
     
   • uz x: 0=b+c
     
   • slobodno: a+b+c=c
   
   
   Iz toga se dobije rješenje a=-b=c, odnosno p(x)=a(x²-x+1), gdje je a proizvoljan realan broj različit od 0. Ako je a=0, dobije se upravo nulpolinom (za koji smo gore vidjeli da je rješenje), pa je opće rješenje p(x)=a(x²-x+1) za proizvoljni a∈ℝ.
   
   
4. Imamo jednakost (x²+x+1)ⁿ=a_2nx²ⁿ+...+a₁x+a₀. Uvrštavanjem x=1 i x=-1 u nju, dobijemo
   3ⁿ=a_2n+a_2n-1+...+a₁x+a₀ i
   1=a_2n-a_2n-1+...-a₁x+a₀. Zbrajanjem te dvije jednakosti, i dijeljenjem s 2, dobijemo
   (3ⁿ+1)/2=a_2n+a_2n-2+...+a₂+a₀. Da bismo dobili ono što se od nas u zadatku traži, treba još oduzeti od toga slobodni član a₀, koji se može dobiti uvrštavanjem x=0: 1=a₀. Dakle traženi izraz je (3ⁿ+1)/2-1=(3ⁿ-1)/2.
   
   
5. Prebacivši 2 na lijevu stranu nejednadžbe, faktoriziranjem nazivnika i svođenjem na zajednički nazivnik, dobije se ekvivalentna nejednadžba -(5x-17)/(x-3)(x+2)≤0. To se može riješiti pomoću tablice, gledanjem predznaka pojedinih faktorâ na intervalima određenim točkama -2, 3 i 17/5. Nakon toga još treba izbaciti -2 i 3 kao nultočke nazivnika. Konačno rješenje je x∈〈-∞,-2〉∪〈3,17/5].