Rješenja pismenog ispita iz Teorije skupova 2006-02-10

1. 1. Označimo skup čiji broj elemenata tražimo sa S. Očito je S⊆℘(ℤ), pa vrijedi card S≤card ℘(ℤ)=2^ℵ₀=c. S druge strane, svaki podskup od ℕ je dobro uređen i podskup od ℤ. Dakle, ℘(ℕ)⊆S, odnosno card ℘(ℕ)=2^ℵ₀=c≤card S. Sve u svemu, card S=c.
   2. Ako je T skup takvih funkcijâ, preslikavanje g:T→C¹(ℝ⁻)×ℝ×C²(ℝ⁺);f↦(f|_ℝ⁻,f(0),f|_ℝ⁺) je bijekcija. (Injekcija je jer se dvije funkcije s ℝ u ℝ koje se razlikuju, razlikuju ili na ℝ⁻, ili u nuli, ili na ℝ⁺. Surjekcija je jer se svaka uređena trojka (f₁,a,f₂) u kodomeni može dobiti kao g(f), gdje je f po slučajevima definirana kao f₁, a, odnosno f₂.) Dakle, card T=card(C¹(ℝ⁻)×ℝ×C²(ℝ⁺))=(card C¹(ℝ⁻))⋅(card ℝ)⋅(card C²(ℝ⁺)). Prvi i treći kardinalni broj su jednaki c, argumentom koji je napravljen na vježbama. Odnosno, card T=c⋅c⋅c=c³=c.
2. Tvrdnja vrijedi. Da bismo je dokazali, dokazujemo dvije inkluzije.
   • (⊆) Neka je x∈⋃⋃A² proizvoljan. To znači, po definiciji unije, da postoji y∈⋃A² takav da je x∈y. Opet po definiciji unije, imamo da postoji z∈A² takav da je y∈z. Budući da je z∈A², z je uređen par elemenata iz A, recimo z=(a,b)={{a},{a,b}}, gdje su a i b elementi iz A. Sada, po definiciji para y∈z znači y={a} ili y={a,b}, a u svakom od tih slučajeva opet po definiciji para x∈y povlači x=a ili x=b. U svakom slučaju x∈A.
   • (⊇) Neka je s∈A proizvoljan. Tada je (s,s)={{s}}∈A², pa je {s}∈⋃A² (jer je {s}∈{{s}}∈A²), te je s∈⋃⋃A² (jer je s∈{s}∈⋃A²).
3. ∏_α∈ω+2(α+2)^α+1= (∏_α∈ω(α+2)^α+1)⋅(ω+2)^ω+1⋅(ω+3)^ω+2=
   (sup_n∈ω∏_α=0..n-1(α+2)^α+1)⋅(ω+2)^ω⋅(ω+2)⋅(ω+3)^ω⋅(ω+3)⋅(ω+3)=
   sup_n∈ω(2¹⋅3²⋅...⋅(n+1)ⁿ)⋅ω^ω⋅(ω+2)⋅ω^ω⋅((ω+3)⋅ω+ω+3+ω+3+ω+3)=
   ω⋅ω^ω⋅ω^ω⋅(ω²+ω⋅3+3)= ω^ω⋅2+2+ω^ω⋅2+1⋅3+ω^ω⋅2⋅3
4. 2≤ℵ₀≤2^c, pa je 2^c≤ℵ₀^c≤(2^c)^c=2^c⋅c=2^c, odnosno ℵ₀^c=2^c.
   1≤ℵ₁≤c (ovo zadnje jer je ℵ₁ najmanji od svih kardinalnih brojeva većih od ℵ₀, a c je veći od ℵ₀ po Cantorovom teoremu), pa je c=1⋅c≤ℵ₁⋅c≤c⋅c=c, odnosno ℵ₁⋅c=c.
   Dakle, (ℵ₁⋅c)^ℵ₀=c^ℵ₀=(2^ℵ₀)^ℵ₀=2^{ℵ₀⋅ℵ₀}=2^ℵ₀=c.
   Sve u svemu, rezultat je 2^c+c, što je između 2^c+0=2^c i 2^c+2^c=2⋅2^c=2^c+1=2^c; dakle jednak je 2^c.
   
5. Promotrimo skup T:={y∈S:y≻x}.
   T je parcijalno uređen restrikcijom uređaja ≺, možemo pisati da je (T,≺) PUS.
   Također, budući da x nije maksimalan, postoji bar jedan y∈S takav da je y≻x, odnosno T nije prazan.
   Svaki lanac u T je neprazan totalno uređen podskup u T, dakle i neprazan totalno uređen podskup u S, odnosno lanac u S, pa kao takav ima gornju među u S; označimo je s g. Budući da je lanac neprazan, u njemu postoji bar jedan element l. Budući da je lanac u T, vrijedi l∈T, odnosno l≻x. Budući da je g gornja međa za taj lanac, specijalno vrijedi g≽l, pa po tranzitivnosti g≻x, odnosno g∈T. Dakle, svaki lanac u T ima gornju među u T.
   Vidimo da su ispunjeni svi uvjeti Zornove leme za skup T, pa postoji maksimalni element u T; nazovimo ga z. Budući da je z∈T, odmah imamo z≻x.
   Treba još vidjeti da je z maksimalan element u S (Zornova lema nam samo daje da je maksimalan u T). Pretpostavimo da postoji w∈S takav da je w≻z. Po tranzitivnosti bi tada bilo i w≻x, odnosno w∈T, što je u kontradikciji s maksimalnošću od z u skupu T. Dakle, z je stvarno maksimalan element u skupu S, i vrijedi z≻x.