Rješenja pismenog ispita iz Teorije skupova 06-07-07

1. 1. Očito ih ima manje nego svih prirodnih brojeva, dakle ≤ℵ₀. S druge strane, preslikavanje n↦100ⁿ je očito injekcija (koja svakom prirodnom broju n pridružuje prirodni broj s 2n+1 znamenaka), koja pokazuje da ih ima i ≥ℵ₀. Dakle, ima ih prebrojivo mnogo.
      
   2. Po tranzitivnosti je i A⊆ℝ, pa ih nema više nego svih parova podskupova od ℝ; dakle ≤card(℘(ℝ))²=(2^c)²=2^c⋅2=2^c. S druge strane, svakom podskupu C⊆[0,1] možemo pridružiti par (C,ℝ) koji zadovoljava uvjet, i to je injekcija (po definicijskom svojstvu uređenog para) sa ℘([0,1]) u naš skup, koja govori da je njegov kardinalitet ≥2^card[0,1]=2^c. Zaključujemo da ih ima 2^c.
   
   
2. Budući da je indeks sumacije sigurno manji od ω⋅3, prvi faktor u sumandu je između ω i ω⋅4, pa je sam sumand između ω⋅ω=ω² i ω⋅4⋅ω=ω⋅(4⋅ω)=ω⋅ω=ω². Drugim riječima, svi sumandi su jednaki ω², pa ω² možemo izlučiti (lijevo) izvan sume, koja onda postaje trivijalno jednaka ω⋅2+3. Rezultat je time ω²⋅(ω⋅2+3)=ω³⋅2+ω²⋅3.
   
3. Unija od ℘(A) je najveći element od ℘(A), a to je naravno A. Također, ako je x∈A, svaki element od x je i element od ∪A, pa je x⊆∪A — odnosno, x∈℘(∪A). Dakle, A⊆℘(∪A). Obrnuta inkluzija ne vrijedi općenito, npr. ℘(∪{{1}})=℘({1})={∅,{1}}⊈{{1}}.
   
4. Nisu slični: u skupu ℝ×ℚ između svaka dva različita elementa ima neprebrojivo mnogo elemenata. Ako je b<d, između (a,b) i (c,d) se nalaze npr. svi (e,b), gdje je e∈<a,+∞>. Ako je pak b=d∧a<c, između se nalaze svi (e,b) za koje je e∈<a,c>. Dok u skupu ℚ×ℝ, to ne vrijedi: na primjer, (0,0)<(1,0), ali između njih se nalaze samo parovi oblika (r,0), gdje je r racionalan broj između 0 i 1 — dakle, samo prebrojivo mnogo njih.
   Budući da sličnosti čuvaju krajeve intervalâ, kao i (ne)prebrojivost, svojstvo "između svaka dva različita elementa postoji neprebrojivo mnogo elemenata" je invarijanta sličnosti po kojoj se ℝ×ℚ i ℚ×ℝ razlikuju.
   
5. Da za svaki a∈A postoji maksimalni lanac koji ga sadrži, dokazuje se standardno, Zornovom lemom (jedan lanac koji je dobar je {a}, a unija lanca dobrih lanaca je ponovo dobar lanac: sadrži a, i svaka dva elementa su usporediva). Sada, budući da ≺ nije totalni uređaj, sigurno postoje bar dva neusporediva elementa: fiksirajmo takva dva, i označimo ih s b i c. Za svakog od njih po upravo dokazanom postoji maksimalni lanac koji ga sadrži, označimo ih s B∋b i C∋c. To su zaista različiti lanci, jer npr. b∈B∧b∉C (pretpostavka b∈C bi, jer je C lanac, značila da su b i c usporedivi).