Neka sitnija pitanja

From: Vedran Čačić <veky@math.hr>
Date: Sep 28, 2007 9:55 PM
Subject: Re: Teorija skupova
To: Marina

On 9/26/07, Marina wrote:

Poštovani,

 

molim Vas, ako možete, da mi riješite sljedeće zadatke iz Teorije skupova:

 

1.Neka su A i B neprazni disjunktni skupovi. Dokažite kard(AUB)=kard(Bx{0,1}).

Tvrdnja ne vrijedi. A:={1,2} i B:={3} su neprazni disjunktni skupovi, card(AUB)=card({1,2}U{3})=card{1,2,3}=3, dok je card(Bx{0,1})=card({3}x{0,1})=card{(3,0),(3,1)}=2 != 3.

((Inače, tvrdnja vrijedi ako su A i B još i ekvipotentni, odnosno postoji bijekcija f:A<->B. Tada je formulom h(x):=(x∈A?(f(x),0):(x,1)) (dakle, (f(x),0) ako je x iz A, a (x,1) za x iz B) zadana bijekcija između AUB i Bx2.))

2.Neka je X skup, S neprazan skup uređajnih relacija na X takvih da je (S, ⊆) TUS. Dokaži da je US uređajna relacija na X.

Pod "uređajnom relacijom" se ovdje vjerojatno misli parcijalni uređaj, dakle relacija koja je irefleksivna i tranzitivna.

• irefleksivnost: pretpostavimo da postoji x∈X takav da je (x,x)∈US. To znači da postoji R∈S takva da je (x,x)∈R, no to je nemoguće jer su sve relacije u S irefleksivne.
• tranzitivnost: neka je (x,y )∈US i (y,z)∈US. To znači da postoje R i Q iz S takve da je xRy i yQz. No kako je (S,⊆) TUS, svaka dva elementa u S su usporediva s obzirom na ⊆, pa tako i R i Q. BSOMP R⊆Q. Tada iz xRy slijedi i xQy, pa iz toga i yQz zaključujemo xQz (Q je tranzitivna, jer je parcijalni uređaj: svi u S su takvi). No kako je Q∈S, imamo Q⊆US, pa je i (x,z)∈US.

3. Neka je  α redni broj. Dokažite da je 1+ α= α ako i samo ako α ≥ω.

Jedan smjer: za sve α≥ω vrijedi 1+α=α. Dokazujemo transfinitnom indukcijom po α.
Baza: 1+ω=1+sup_{n∈ω}n=sup_{n∈ω}(1+n)=sup{1,2,3,4,....}=ω.
Sljedbenici: pretpostavimo 1+k=k. Tada je 1+(k+1)=(1+k)+1=k+1.
Granični: pretpostavimo 1+m=m za sve m∈g, te da je g granični. Tada je 1+g=sup_{m∈g}(1+m)=sup_{m∈g}m=sup g=g (zadnja jednakost jer je g granični).

Drugi smjer (kontrapozicija): ako nije α≥ω, tada nije ni 1+α=α.
Dokaz: ako nije α≥ω, tada je po usporedivosti ordinala α<ω. To znači da je α prirodni broj, a kako je i 1 prirodni broj, te za zbrajanje prirodnih brojeva vrijedi komutativnost, 1+α=α+1, što je strogo veće od α=α+0 (jer je 1>0). Dakle nisu jednaki.