Rješenja prve zadaće iz UM

 
 

Uvod u matematiku - 1. zadaća

[PDF]

Zadaća se mora predati na vježbama 5. studenog 2007. (10h)

Lokalna invertibilnost holomorfne funkcije

Marko: hej. jedno pitanje o lok.inv.hol.f-je

imas lim{w'->w}((g(w')-g(w))/(w'-w))

i to ti je =

lim{z'->z}((z'-z)/(f(z')-f(z)))

sto je =lim{z'->z}((f(z')-f(z))/(z'-z))

ups

ovo zadnje ne

nego =lim{z'->z}(1/((f(z')-f(z))/(z'-z)))

ziher sam negdje fulao zagrade :)

i sad kaze, ovaj zadnji limes postoji jer je f derivabilna

u z

(htjeli smo dokazati da je g derivabilna u w)

ono sto me zanima:

Ungi pise da smo mogli lim po w' mogli zamijeniti s lim po z' jer su te f-je
homeomorfizmi (to se dokaze malo prije).

zasto je to tako? zasto moraju biti homeomorfizmi?

to se dokaze = da su f-je homeomorfizmi

da ne bi bilo da pitam nesto sto znam. :)

Veky: Pa ne moraju vjerojatno. Ali ako jesu, onda je trivijalno da možemo zamijeniti. :-)

Jer homeomorfizmi su izomorfizmi u topološkoj kategoriji.

Dakle bilo što topološki definirano (recimo limes) ostaje isto.

Marko: rekao si kategorija. :)

ne znaci mi to prevec. :)

ja bih elementarnije objasnjenje. :)

Marko: ne bih intuitivni razlog ovaj put.

bas strogo.

(ne kazem da je ovo gore objasnjenje intuitivno i ne-strogo, samo kazem da ga ne kuzim :))

Veky: Za strogi dokaz prvo trebaš strogi iskaz. :-P

"limes po z možemo zamijeniti onim po w" nije pretjerano strogo.

Uglavnom, bilo kakvo kvantificiranje po okolinama od z možemo interpretirati kao isto takvo kvantificiranje (egzistencijalno ili univerzalno) po okolinama od w. Zato što imamo preslikavanje koje je neprekidno u oba smjera. Dakle, kad god nam se u provjeri limesa pojavi "za svaku okolinu od z", na primjer, možemo reći "za svaku okolinu od w", jer unutar svake okoline od w imamo izomorfnu kopiju neke okoline od z. (definicija neprekidnosti)

Marko: :D ali i opet mi nisu jasni limesi. ne znam koje veze nepr. ima

Veky: Slažem se. Ali sam uvjeren da ti je nejasno što zapravo treba dokazati, a ne kako to dokazati. :-) Neprekidnost ti treba da možeš okoline slike zamijeniti okolinama originala.


Marko: educiraj me. :)

Veky: Ajd. Recimo da imamo topološke prostore U i V, te f i g neprekidne između U i V (f:U->V & g:V->U) koje su jedna drugoj inverz s obzirom na kompoziciju (dakle, fog=1_V & gof=1_U).

Također, imamo istaknute točku z@U i točku w:=f(z)@V. Naravno, ovo gornje znači da je i g(w)=g(f(z))=(gof)(z)=1_U(z)=z.

Trebamo dokazati: ako postoji lim{z'->z}(z'-z)/(f(z')-f(z)) i jednak je L, tada postoji i lim{w'->w}(g(w')-g(w))/(w'-w) i također je jednak L, te vrijedi i obrat.

Stvar je simetrična zamjenom f<->g i U<->V (i w<->z), tako da je dovoljno dokazati jedan smjer: drugi dobivamo iz njega upravo navedenom zamjenom.

Dakle, pretpostavimo da za svaku A oko L ("A oko L" znači "A je okolina od L") postoji B oko z takva da za sve z'@B vrijedi (z'-z)/(f(z')-f(z))@A.

Neka je C proizvoljna okolina oko L.

Po upravo navedenom (A:=C) postoji B oko z takva da za svaki z'@B vrijedi (z'-z)/(f(z')-f(z))@C.

Po neprekidnosti funkcije g, i zbog z=g(w), imamo da za svaku okolinu oko z, pa tako specijalno i za B, postoji D oko w takva da za svaki ž@D vrijedi g(ž)@B.

No kako je g(ž)@B, a za sve elemente od B vrijedi ovo iz pretprethodnog odlomka, zaključujemo (z':=g(ž)) da vrijedi (g(ž)-z)/(f(g(ž))-f(z))@C.

Ako to napišemo malo drugačije (z=g(w), f(z)=w, te f(g(ž))=(fog)(ž)=1_V(ž)=ž), vidimo da zapravo vrijedi (g(ž)-g(w))/(ž-w)@C.

I sada pogledajmo što smo napravili:

za proizvoljnu C oko L,

našli smo D oko w,

takvu da za sve ž@D,

vrijedi (g(ž)-g(w))/(ž-w)@C.

To upravo znači da je L=lim{ž->w}(g(ž)-g(w))/(ž-w).

Da smo bili pametniji, mogli smo vezanu varijablu ž nazvat i w'. :-)

I dakako, U i V moraju biti topološki potprostori od |C, ne proizvoljni - kako bih imao oduzimanje i dijeljenje. :-D

Neka sitnija pitanja

From: Vedran Čačić <veky@math.hr>
Date: Sep 28, 2007 9:55 PM
Subject: Re: Teorija skupova
To: Marina

On 9/26/07, Marina wrote:

Poštovani,

 

molim Vas, ako možete, da mi riješite sljedeće zadatke iz Teorije skupova:

 

1.Neka su A i B neprazni disjunktni skupovi. Dokažite kard(AUB)=kard(Bx{0,1}).

Tvrdnja ne vrijedi. A:={1,2} i B:={3} su neprazni disjunktni skupovi, card(AUB)=card({1,2}U{3})=card{1,2,3}=3, dok je card(Bx{0,1})=card({3}x{0,1})=card{(3,0),(3,1)}=2 != 3.

((Inače, tvrdnja vrijedi ako su A i B još i ekvipotentni, odnosno postoji bijekcija f:A<->B. Tada je formulom h(x):=(x∈A?(f(x),0):(x,1)) (dakle, (f(x),0) ako je x iz A, a (x,1) za x iz B) zadana bijekcija između AUB i Bx2.))

2.Neka je X skup, S neprazan skup uređajnih relacija na X takvih da je (S, ⊆) TUS. Dokaži da je US uređajna relacija na X.

Pod "uređajnom relacijom" se ovdje vjerojatno misli parcijalni uređaj, dakle relacija koja je irefleksivna i tranzitivna.

• irefleksivnost: pretpostavimo da postoji x∈X takav da je (x,x)∈US. To znači da postoji R∈S takva da je (x,x)∈R, no to je nemoguće jer su sve relacije u S irefleksivne.
• tranzitivnost: neka je (x,y )∈US i (y,z)∈US. To znači da postoje R i Q iz S takve da je xRy i yQz. No kako je (S,⊆) TUS, svaka dva elementa u S su usporediva s obzirom na ⊆, pa tako i R i Q. BSOMP R⊆Q. Tada iz xRy slijedi i xQy, pa iz toga i yQz zaključujemo xQz (Q je tranzitivna, jer je parcijalni uređaj: svi u S su takvi). No kako je Q∈S, imamo Q⊆US, pa je i (x,z)∈US.

3. Neka je  α redni broj. Dokažite da je 1+ α= α ako i samo ako α ≥ω.

Jedan smjer: za sve α≥ω vrijedi 1+α=α. Dokazujemo transfinitnom indukcijom po α.
Baza: 1+ω=1+sup_{n∈ω}n=sup_{n∈ω}(1+n)=sup{1,2,3,4,....}=ω.
Sljedbenici: pretpostavimo 1+k=k. Tada je 1+(k+1)=(1+k)+1=k+1.
Granični: pretpostavimo 1+m=m za sve m∈g, te da je g granični. Tada je 1+g=sup_{m∈g}(1+m)=sup_{m∈g}m=sup g=g (zadnja jednakost jer je g granični).

Drugi smjer (kontrapozicija): ako nije α≥ω, tada nije ni 1+α=α.
Dokaz: ako nije α≥ω, tada je po usporedivosti ordinala α<ω. To znači da je α prirodni broj, a kako je i 1 prirodni broj, te za zbrajanje prirodnih brojeva vrijedi komutativnost, 1+α=α+1, što je strogo veće od α=α+0 (jer je 1>0). Dakle nisu jednaki.

Pismeni iz Teorije skupova održan 07-09-14

Pismeni iz Teorije skupova održan 07-09-03

Rješenja:

Analiza x-gramâ

#!/usr/bin/perl -w
@q=undef$/;
($sifrat=<>)=~s/\W//g;
print"$sifrat\n";
sub analyze($){
undef%f;
$f{$_}=scalar(@q=$sifrat=~/$_/g)
    for 'A'x$_[0]..'Z'x$_[0];
$f{$_} and print"$_: $f{$_}\t"
    for sort{$f{$b}<=>$f{$a}||$a cmp $b}keys%f;
print"\n"
}
analyze $_ for 1..3;
__DATA__
VIWIV IPDQF ...cyphertext deleted to protect the lazy... ;-)

Još jedan dokaz(čić?;) u PD

Neki dokazi u sistemu prirodne dedukcije