Neke očitosti o integralima

imam zadatak
odredite površinu (duljinu) domene funkcije
i kada rjesim domenu kako odredim njenu duljinu???

Ako pričamo o funkciji jedne realne varijable (što bi se dalo zaključiti na osnovu tvog poistovjećivanja površine i duljine):

domena je u većini slučajeva (disjunktna) unija (konačno mnogo) nekih intervala (bilo otvorenih, zatvorenih, poluotvorenih...), i pojedinih točaka (singletonova). Jednostavno zbroji duljine svih tih intervala. Duljina od intervala a,b (bilo [a,b], bilo [a,b>,...) je b-a .
Na primjer, duljina od [1,2>U<3,7>U{-2,0} je (2-1)+(7-3)=1+4=5 . Duljina od <-oo,-4>U[0,5] je, naravno, beskonačna.
Teoretski, možeš tako izračunati i ako imaš prebrojivo mnogo takvih intervala, samo što tada ovo "zbroji duljine" postaje izračunavanje sume reda. Npr. duljina od <-1,-1/2>U<-1/4,-1/8>U<-1/16,-1/32>U.... je 1/2+1/8+1/32+....=(1/2)/(1-1/4)=2/3 .
**
Ako se radi o funkciji više varijabli, stvari su kompliciranije. No jednom kad imaš neku razumnu karakterizaciju domene (npr. jednadžbama ili nejednadžbama), to je standardni problem "odredi površinu/volumen/.... nekog skupa", koji se onda najčešće rješava geometrijski (crtanjem i uočavanjem geometrijskih likova/tijelâ), ili u kompliciranijim slučajevima, integriranjem.

i kako odretiti povrsinu i duljinu slike neke fnkcije?

Jednakim postupkom. :-) Samo prvo sliku prikažeš kao uniju intervalâ... ili, za funkcije s višedimenzionalnom kodomenom, karakteriziraš je (ne)jednadžbama i onda to integriraš (preciznije, integriraš konstantu 1 po tom području, odnosno karakterističnu funkciju tog područja po nekom pravokutniku koji ga sadrži).

i broj siljaka?

Broj čega? [:-)]
Vjerojatno se misli na (izolirane) točke u kojima je funkcija neprekidna, ali nije derivabilna. Dobri kandidati za to su točke na kojima se susreću razna pravila definicije, za funkcije definirane po slučajevima. U svakoj takvoj točki treba provjeriti neprekidnost i derivabilnost, i na kraju prebrojiti.