Uvod u matematiku - 1. zadaća

[PDF]

Zadaća se mora predati na vježbama 5. studenog 2007. (10h)

Lokalna invertibilnost holomorfne funkcije

Marko: hej. jedno pitanje o lok.inv.hol.f-je

imas lim{w'->w}((g(w')-g(w))/(w'-w))

i to ti je =

lim{z'->z}((z'-z)/(f(z')-f(z)))

sto je =lim{z'->z}((f(z')-f(z))/(z'-z))

ups

ovo zadnje ne

nego =lim{z'->z}(1/((f(z')-f(z))/(z'-z)))

ziher sam negdje fulao zagrade :)

i sad kaze, ovaj zadnji limes postoji jer je f derivabilna

u z

(htjeli smo dokazati da je g derivabilna u w)

ono sto me zanima:

Ungi pise da smo mogli lim po w' mogli zamijeniti s lim po z' jer su te f-je
homeomorfizmi (to se dokaze malo prije).

zasto je to tako? zasto moraju biti homeomorfizmi?

to se dokaze = da su f-je homeomorfizmi

da ne bi bilo da pitam nesto sto znam. :)

Veky: Pa ne moraju vjerojatno. Ali ako jesu, onda je trivijalno da možemo zamijeniti. :-)

Jer homeomorfizmi su izomorfizmi u topološkoj kategoriji.

Dakle bilo što topološki definirano (recimo limes) ostaje isto.

Marko: rekao si kategorija. :)

ne znaci mi to prevec. :)

ja bih elementarnije objasnjenje. :)

Marko: ne bih intuitivni razlog ovaj put.

bas strogo.

(ne kazem da je ovo gore objasnjenje intuitivno i ne-strogo, samo kazem da ga ne kuzim :))

Veky: Za strogi dokaz prvo trebaš strogi iskaz. :-P

"limes po z možemo zamijeniti onim po w" nije pretjerano strogo.

Uglavnom, bilo kakvo kvantificiranje po okolinama od z možemo interpretirati kao isto takvo kvantificiranje (egzistencijalno ili univerzalno) po okolinama od w. Zato što imamo preslikavanje koje je neprekidno u oba smjera. Dakle, kad god nam se u provjeri limesa pojavi "za svaku okolinu od z", na primjer, možemo reći "za svaku okolinu od w", jer unutar svake okoline od w imamo izomorfnu kopiju neke okoline od z. (definicija neprekidnosti)

Marko: :D ali i opet mi nisu jasni limesi. ne znam koje veze nepr. ima

Veky: Slažem se. Ali sam uvjeren da ti je nejasno što zapravo treba dokazati, a ne kako to dokazati. :-) Neprekidnost ti treba da možeš okoline slike zamijeniti okolinama originala.


Marko: educiraj me. :)

Veky: Ajd. Recimo da imamo topološke prostore U i V, te f i g neprekidne između U i V (f:U->V & g:V->U) koje su jedna drugoj inverz s obzirom na kompoziciju (dakle, fog=1_V & gof=1_U).

Također, imamo istaknute točku z@U i točku w:=f(z)@V. Naravno, ovo gornje znači da je i g(w)=g(f(z))=(gof)(z)=1_U(z)=z.

Trebamo dokazati: ako postoji lim{z'->z}(z'-z)/(f(z')-f(z)) i jednak je L, tada postoji i lim{w'->w}(g(w')-g(w))/(w'-w) i također je jednak L, te vrijedi i obrat.

Stvar je simetrična zamjenom f<->g i U<->V (i w<->z), tako da je dovoljno dokazati jedan smjer: drugi dobivamo iz njega upravo navedenom zamjenom.

Dakle, pretpostavimo da za svaku A oko L ("A oko L" znači "A je okolina od L") postoji B oko z takva da za sve z'@B vrijedi (z'-z)/(f(z')-f(z))@A.

Neka je C proizvoljna okolina oko L.

Po upravo navedenom (A:=C) postoji B oko z takva da za svaki z'@B vrijedi (z'-z)/(f(z')-f(z))@C.

Po neprekidnosti funkcije g, i zbog z=g(w), imamo da za svaku okolinu oko z, pa tako specijalno i za B, postoji D oko w takva da za svaki ž@D vrijedi g(ž)@B.

No kako je g(ž)@B, a za sve elemente od B vrijedi ovo iz pretprethodnog odlomka, zaključujemo (z':=g(ž)) da vrijedi (g(ž)-z)/(f(g(ž))-f(z))@C.

Ako to napišemo malo drugačije (z=g(w), f(z)=w, te f(g(ž))=(fog)(ž)=1_V(ž)=ž), vidimo da zapravo vrijedi (g(ž)-g(w))/(ž-w)@C.

I sada pogledajmo što smo napravili:

za proizvoljnu C oko L,

našli smo D oko w,

takvu da za sve ž@D,

vrijedi (g(ž)-g(w))/(ž-w)@C.

To upravo znači da je L=lim{ž->w}(g(ž)-g(w))/(ž-w).

Da smo bili pametniji, mogli smo vezanu varijablu ž nazvat i w'. :-)

I dakako, U i V moraju biti topološki potprostori od |C, ne proizvoljni - kako bih imao oduzimanje i dijeljenje. :-D