Simboli kao skupovi?

---------- Forwarded message ----------
From: Veky <vedgar@gmail.com>
Date: Dec 11, 2005 4:18 PM
Subject: Re: Simboli
To: Konrad

On 12/9/05, Konrad wrote:

Zanima me kako bi mogli skupovno definirali slova?

Slova su elementi skupa
{a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z}.
;-]]

Ili opcenito, bilo kakve simbole?

Hmda. Teorija skupova se obično bavi definicijama matematičkih objekata pomoću skupova. Simboli, koliko god to čudno zvučalo, a priori nisu matematički objekti -- već su na neki način metaobjekti, objekti jezika koji nam služe za označavanje nekih konkretnih matematičkih objekata.

U redu, jezik se može matematički definirati (unutar logike), pa se tamo mogu definirati i simboli, no takve definicije su obično suhoparne poput ove gornje (definicija "slovâ"). That is, obično se kaže: podrazumijevamo da imamo skup logičkih simbolâ (simboli za negaciju, disjunkciju, univerzalni kvantifikator, jednakost, dvije zagrade i zarez), te imamo još "neki skup" simbolâ, koje dijelimo na konstantske, funkcijske i relacijske. Nigdje se ne kaže što su oni točno, i kad nam npr. zatreba novi funkcijski simbol, uzmemo oznaku f0, f1, f2, ili već prvu sljedeću slobodnu. Razlog za takvo nešto je upravo proizvoljnost koja se vidi iz ovog tvog "ipak" na kraju:

Recimo, meni pada na pamet nekakav ASCII ili cak Unicode kod, ali ipak ...

... jer se ne možemo oteti dojmu da su ASCII, Unicode, ili bilo što drugo, samo grube aproksimacije onog što smatramo simbolima, i uz to su užasno proizvoljne. Zašto imati simbole WHITE FROWNING FACE, WHITE SMILING FACE i BLACK SMILING FACE, ali ne i BLACK FROWNING FACE? I zašto bi uskličnik dolazio prije plusa?

Jeli pojam 'biti simbol' isto tako elementaran kao npr. pojam 'biti skup' u naivnoj TS?

Ne bih rekao da je elementaran (jer u logici se poprilično raščlanjuje ovisno o svojoj funkciji u jeziku), nego da jednostavno nije matematički. Za neke metamatičke objekte (kolekcija) imamo dobre aproksimacije (skup, klasa), za neke druge (istina) imamo koliko-toliko zadovoljavajuće aproksimacije (dokazivost), dok za neke (simboli) imamo samo vrlo proizvoljne reprezentacije (ordinalni kodovi, Unicode, Gödelovi brojevi) koje se promatraju samo u specijaliziranom kontekstu.

Dali bi se moglo nekako skupa 'zakodirati' i simbol i njegovo značenje?

Jednom kad bismo imali zadovoljavajuću matematičku reprezentaciju simbola, rekli bismo jednostavno "uređen par kojem je prva komponenta simbol, a druga matematički objekt kojeg taj simbol označava".

--
~Veky

Aksiomi TSa

---------- Forwarded message ----------
From: Veky <vedgar@gmail.com>
Date: Dec 11, 2005 3:55 PM
Subject: Re: Aksiomi TS-a
To: Ana

On 12/11/05, Ana wrote:

Hej,
na predavanjima je Guljas spomenuo aksiom poptunosti,ali nigdje nismo
rekli sto je to,a nema niti u Papicevoj knjizi.....
Na vjezbama u petak si spomenuo aksiom temeljnosti.....Ni to nerme naci
nigdje...
Mozes mi reci sto kazu ta 2 aksioma?
Na predavanjima smo radili samo aksiom ekstenzionalnosti,praznog
skupa,partitivnog skupa,para,unije,separacije i izbora.....

Hm... ajmo redom.
Aksiom potpunosti nije aksiom teorije skupova, već analize. Aksiomi teorije skupova opisuju strukturu kumulativne hijerarhije, koja u sebi uključuje sve skupove koji nam trebaju. Aksiomi analize (i drugih matematičkih granâ) opisuju strukturu izgrađenu na jednom konkretnom skupu (za analizu, skupu realnih brojeva ℝ).
Za Teoriju skupova, aksiom potpunosti ("svaki neprazan skup koji ima gornju među, ima supremum") ima značenje, ali ne kao njen aksiom, već kao tvrdnja koju neki TUSovi zadovoljavaju, a neki ne — i predstavlja invarijantu sličnosti, dakle učinkovit način da razlikujemo uređajne tipove (na primjer, za λ vrijedi aksiom potpunosti, dok za λ+λ ne vrijedi — dakle, λ+λ≠λ, odnosno ℝ×2≄ℝ).

Aksiom utemeljenosti (fundiranosti) je pak aksiom koji se odnosi na samu kumulativnu hijerarhiju, i kaže da su, efektivno, razine kumulativne hijerarhije dobro uređene, odnosno: svaki neprazni skup ima element na minimalnoj razini.
∀a(∃b(b∈a)→∃b(b∈a∧∄c(c∈b∧c∈a))
(ovaj b je "na minimalnoj razini", jer ne postoji c koji je "ispod" njega)
Odnosno, koristeći pokrate,
a≠∅→(∃b∈a)(a∩b=∅)

Nama je na vježbama trebala samo jedna jednostavna posljedica aksioma fundiranosti, a to je da nijedan skup ne može biti element samog sebe — specijalno, ω∉ω. Dokaz je jednostavan: promotrimo skup a:={ω}. On je neprazan (ω∈a), pa ima element na minimalnoj razini. No to može biti jedino ω (jer je to jedini element od a). Kad bi bilo ω∈ω, imali bismo ω∈ω i ω∈a, dakle postojao bi element od a koji je "ispod" ω (to je upravo ω), što je kontradikcija.

Od aksiomâ standardnog ZFCa u gornjem popisu još nedostaje aksiom zamjene, koji kaže da je funkcijska slika skupa ponovo skup, no tim aksiomom ćete se vjerojatno baviti kasnije.
Pregled aksiomâ možeš naći na http://en.wikipedia.org/wiki/Zermelo-Fraenkel_set_theory .
HTH,
--
~Veky

Koliko ima mogućih rješenjâ kvadratne nejednadžbe?

---------- Forwarded message ----------
From: Veky <vedgar@gmail.com>
Date: Dec 12, 2005 7:13 PM
Subject: Re: Zadatak za domacu zadacu
To: pipi_in_melkijad

On 12/12/05, pipi_in_melkijad wrote:

Mozete li nam pomoci sa sljedecim zadatkom:
Koliko ima skupova rjesenja kvadratne jednazbe

Valjda nejednadžbe. :-) 

a*x^2+b*x+c>0, za a, b, c iz  |R?
Hvala!

Sjećate se zadatka "koliko ima intervala (svih vrsta) u |R"? Ovo ide slično.
Mogući skupovi rješenja su:

1. <-oo,x1>U<x2,+oo> (ako je diskriminanta pozitivna, te a pozitivan). Tome pridružimo (1,x1,x2).
2. |R\{x0} (ako je diskriminanta jednaka 0, te a pozitivan). Tome pridružimo (2,x0,0).
3. |R (ako je D<0 i a>0). Tome pridružimo (3,0,0).
4. <x1,x2> (ako je D>0 & a<0). Tome pridružimo (4,x1,x2).
5. 0 (prazan skup) (ako je D<=0, i a<0). Tome pridružimo (5,0,0).

Vidimo da imamo funkciju sa traženog skupa (S) u skup |R^3. To je injekcija (dokažite!), pa je
cardS<=card|R^3=c^3=c^2*c=c*c=c^2=c (kontinuum).

S druge strane, za svaki r iz |R, promotrimo kvadratnu nejednadžbu x^2-2rx+r^2>0. Njen skup rješenja je očito |R\{r}. Dakle, različitim r-ovima odgovaraju različiti skupovi rješenja, odnosno imam injekciju s |R u S. Dakle
card|R=c<=cardS,

što zajedno s gornjim daje cardS=c.
HTH,
--
~Veky