Rješenja pismenog ispita iz Teorije skupova 06-06-23

1. 1. Ako skup svih takvih skupova označimo sa S, tada je funkcija sort (koja svakom n-članom skupu pridruži n-torku njegovih elemenata uređenih po velični) injekcija sa S u ℂ^*, pa je card S≤card ℂ^*, što je c (napravljeno na vježbama). S druge strane, preslikavanje z↦{z,z+1} je injekcija sa ℂ u S, pa je c≤card S. Dakle, S je kardinaliteta kontinuum.
   
   
   2. Preslikavanje f↦f(1) je bijekcija između našeg skupa i ℤ (inverzno preslikavanje cijelom broju k pridruži množenje brojem k), budući da su sve aditivne funkcije na ℤ oblika n↦k⋅n. Dakle, traženi kardinalitet je card ℤ=ℵ₀.



2. Traženi produkt je jednak sup_n∈ω(0⁰⋅1¹⋅2²⋅…⋅(n-1)^n-1) ⋅ω^ω⋅(ω+1)^ω+1⋅(ω+2)^ω+2. Prvi faktor je očito supremum neograničenog niza prirodnih brojeva, dakle ω. Umnožak prvog i drugog faktora je onda ω⋅ω^ω=ω^1+ω=ω^ω. Nakon toga je (ω+1)^ω+1=(ω+1)^ω⋅(ω+1), te još (ω+2)^ω+2=(ω+2)^ω⋅(ω+2)². Za i=1 ili i=2, imamo ω<ω+i<ω², pa je ω^ω≤(ω+i)^ω≤(ω²)^ω=ω^2⋅ω=ω^ω, iz čega slijedi (ω+1)^ω=(ω+2)^ω=ω^ω.
   Traženi produkt sada postaje ω^ω⋅ω^ω⋅(ω+1)⋅ω^ω⋅(ω+2)². Još ponešto možemo pojednostaviti: (ω+1)⋅ω^ω se nalazi između 1⋅ω^ω i ω²⋅ω^ω=ω^2+ω=ω^ω, dakle jednak je ω^ω. Pored toga, (ω+2)²=(ω+2)(ω+2)=(ω+2)ω+(ω+2)⋅2=ω²+ω+2+ω+2=ω²+ω⋅2+2.
   Dakle, rezultat je ω^ω⋅ω^ω⋅ω^ω⋅(ω²+ω⋅2+2)=ω^ω⋅3⋅(ω²+ω⋅2+2)= ω^ω⋅3+2+ω^ω⋅3+1⋅2+ω^ω⋅3⋅2.



3. Postoji. Da bismo to dokazali, prvo primijetimo da je s B_x:={q∈ℚ:q<x} zadana analogna familija podskupova od ℚ (budući da između svaka dva realna broja postoji racionalni, x<y zaista povlači B_x⊂B_y). Sada, ako je q:ℚ→ℕ neka bijekcija (koja postoji jer su ℚ i ℕ ekvipotentni), sa A_x označimo sliku od B_x po funkciji q. Kako je q bijekcija, gornje svojstvo se čuva.



4. Ako je A neprazan, po aksiomu utemeljenosti postoji a∈A koji je disjunktan s A. Kad bi a imao neki element b, po tranzitivnosti bismo imali i b∈A, što je u kontradikciji s disjunktnošću. Dakle, a je prazan skup, element od A.



5. Zadatak se mogao riješiti kao i obično primjenom Zornove leme, ali se u ovom slučaju primjer traženog skupa mogao i direktno naći: na primjer, <-1,1>\{0}. Taj skup je očito neprazan, ne sadrži nijedan cijeli broj, i zatvoren je na množenje. Štoviše, kada bismo ubacili bilo koji necijeli broj x unutra, budući da je 1/x već u skupu, da bismo očuvali zatvorenost na množenje, morali bismo ubaciti i 1 u skup, a tada bismo izgubili svojstvo disjunktnosti sa ℤ. Dakle, <-1,1>\{0} je maksimalan skup s traženim svojstvima.